Нагрузка от перекрытий передается на узлы ферм через специальные балки (прогоны), установленные на узлы грузового пояса фермы (рис. 3.8, а). Тогда значение узловой нагрузки F в средних узлах фермы
будет qd, а в крайних узлах в два раза меньше, т. е. qd2.
А )
q
Б )
F
F
F
F=qd
F
F
4
F/2
2
3
5
F/2
1
H A =0 A
B
6
7
8
V B =3F
dd d
d dd
V A =3F d
d
d
d d
d
Рис . 3.8
Аналитический расчет ферм на постоянную нагрузку
Прежде чем производить расчет фермы, необходимо определить опорные реакции ( исключение составляют консольные фермы). В ферме, показанной на рис. 3.8, б, горизонтальная реакция H A =0 (из уравнения ста-
тики ∑ X = 0 ). В силу симметрии фермы и нагрузки, ее вертикальные ре-
акции равны. Для их определения суммируем все внешние силы, и полу-ченное значение делим пополам:
V A= V B=62F=3F .
Если в ферме имеет место узловая нагрузка, то все стержни испыты-вают деформации осевого сжатия или растяжения. Следовательно, в стержнях фермы возникает только одно внутреннее усилие – продольная сила.Будем обозначать ееNi-j ,гдеiиj –узлы,которые соединяет стер-жень. Таким образом, задача аналитического расчета заключается в опре-делении продольных сил N i-j в стержнях фермы.
44
Способ вырезания узлов
Вследствие того, что силы, действующие на узел, пересекаются в од-ной точке, для каждого узла плоской фермы можно составить два уравне - ния статики,а именно:равенство нулю суммы проекций всех сил,отно-сящихся к узлу, на две взаимно перпендикулярные оси (например, ось X и Y).Способ используется,если в узле имеются два неизвестных усилия.Всякая статически определимая ферма может быть рассчитана последова-тельным вырезанием узлов. Покажем это на примере фермы на рис. 3.8.
N A-1
AN A-6
V A =3F
Рис . 3.9
F/2
N 1-2
1
β
α
N 1-A
N 1-6
Рис . 3.10
Вырежем узел A (рис. 3.9), т. к. в нем соединяются два стержня. Используем уравнения статики:
∑X = 0;
N A-6 =0.
∑Y = 0;
N A - 1 +3F=0, N A-1 = –3F (стержень сжат).
Затем вырежем узел 1 (рис. 3.10) и для определения усилия N 1-2 и N1-6 составим 2 уравнения статики:
∑X = 0; N 1 - 6 ⋅ cos α +N 1 - 2 ⋅ cos β =0.
∑Y = 0; N 1 - 6 ⋅ sin α − N 1 - 2 ⋅ sin β+ N 1 - A +F/2 =0.
Усилие N 1-А известно, поэтому полученную систему уравнений решаем относительно N 1-6 и N 1-2 .
Далее можно последовательно вырезать узлы 2, 6, 3, 7, 4, 8 и определить усилия во всех элементах фермы.
Частные случаи в методе вырезания узлов
Случай 1: 3- хстержневойнезагруженный узел ,в котором двастержня лежат на одной прямой , а третий расположен под углом
(рис. 3.11). Усилия в стержнях, лежащих на одной прямой равны между собой, а усилие в стержне, расположенном под углом, равно нулю.
N 7-3
Для доказательства вырежем узел 7.
Используем уравнения статики:
N 6-7
7
N 7-8
∑X = 0;
N 6-7 – N 7-8 =0. Отсюда N 6-7 =N 7-8 .
∑Y = 0;
N 7-3 =0.
Рис . 3.11
Случай 2: двухстержневойнезагруженный узел(рис. 3.12).Усилия встержнях, соединяющихся в этом узле равно нулю.
N i
Для доказательства используем уравнения статики:
∑Y = 0;
N i ·sin α =0; N i =0.
k
α
N j
∑ X = 0 ;
N i ⋅ cos α +N j =0; отсюда N j =0.
Рис . 3.12
45
Предлагается самостоятельно определить нулевые стержни фермы, приведенной в задании 7 (рис. 3.17) на стр. 50.
Метод сечений
Для определения усилий в элементе фермы необходимо сделать сквозное сечение так,чтобы исследуемый стержень в это сечение попал.Далее одну из этих частей отбросим, а для оставшейся части можно соста-вить три уравнения статического равновесия, куда будут входить внешние нагрузки, опорные реакции и продольные усилия в разрезанных стержнях.
Таким образом, если в сечение попадают только три стержня , которые не параллельны друг другу и не пересекаются в одной точке , то при помо - щи уравнений статики можно определить продольные силы во всех раз -
резанных стержнях . Систему уравнений по возможности следует разде-лять так, чтобы в каждое уравнение входило одно неизвестное. Для этого при определении усилия в интересующем нас i -м стержне составляется уравнение: равенство нулю суммы моментов, взятых относительно точки
пересечения двух других стержней , попавших в сечение,если эти стержнине параллельны друг другу. Такая точка называется моментной для i-го стержня. Если исключаемые стержни параллельны друг другу, моментная точка уходит в бесконечность, и составляется уравнение статики: равенст-во нулю суммы проекций сил, действующих по одну сторону сечения, на ось, перпендикулярную исключаемым стержням.
Определим методом сечений усилия в стержнях третьей панели фермы (рис. 3.13). Проведем сквозное сечение II–II через стержни этой па-нели. Будем производить вычисления в общем виде через величины F и d.
F
F
F
F/2
F
II
5
F
F/2
2
3
4
1
h
A
6
7 II d8
B
V A =3F d
d
d
d
d V B =3F
Рис . 3.13
Усилие в стержне 3-4 найдем, приравняв нулю сумму мо-ментов всех сил, приложен-ных слева от разреза II—II, от-носительно точки 8. При на-хождении усилия в стержне 7-8 – моментная точка3. Часть вычислений требуется выполнить самостоятельно.
Моментная точка уходит в бесконечность, т. к. исключаемые стержни па-раллельны. Поэтому составляем уравнение статики : равенство нулю сум - мы проекций сил,действующих по левую сторону от сечения,на ось Y.
∑Y лев.ч. = 0 ;
___________________________отсюда
N3−8 =
V A− F / 2− F − F
=
0,5F
;
(стержень растянут).
sin γ
sin γ
Можно проверить правильность вычисления усилий. Для этого
возьмем сумму проекций всех сил левой части фермы на ось X.
∑X лев.ч =0 ;
N 3 - 4 + N 7 - 8 +N 3 - 8 cos γ =
− 4,5F d + 4F
d +
0,5F cosγ = −4,5Fctg γ + 4Fctg γ + 0,5ctg γ = 0,
0≡0.
h
h
sin γ
При нахождении усилий в элементах фермы возникает задача по оп-ределению функций углов наклона этих элементов к горизонтальной оси X (все углы рекомендуется обозначать именно между осью стержня и осью X).Для вычисления этих функций угол нужно соотнести с прямоугольнымтреугольником, катеты которого известны.
Опишем алгоритм определения функций угла γ. Для этого рассмотрим треугольник 6-3-7. Катеты этого тре-угольника d и h известны. Найдем через них гипотену-зу c. Функции синуса и косинуса угла γ определим от-ношением катетов к гипотенузе: sinγ =h/c; cosγ =d/c.
3
c = d 2+ h2
сh
γ
6d 7
Определим усилия в стержнях второй панели через F и d (рис. 3.14).
F
I
F
F
F
F
F/2
4
5
2
F/2
∆ h
1
r
h 1h
О
β
A
γ
B
γ 6
7
8
R
I
V В =3F
Рис . 3.14
V А =3F
d
dd
d
d
d
a
Вычислим необходимые геометрические величины, используемые в даль-
Пример 3.1. Данаполигональная ферма,состоящая из10-ти панелей(рис. 3.15). Требуется определить усилия в стержнях 6-й и 8-й панели.
1 I
2
II
III
5
R
r
6
9
2 м
4 м
γ
α
β
w
A
3
I
4
7
II III
8
B
3 кН
3
кН
V A
6 кН
6 кН
6 кН
6 кН
6 кН
6 кН
6 кН
V B
3 м
3 м
3 м
3 м
3 м
3 м
3 м
3 м
3 м
3 м3 м
Рис . 3.15
Порядок расчета
1.Определим опорные реакции.В силу симметрии фермы и нагрузкиреакции V A и V B равны между собой.
V A=V B=∑2F=482=24 кН .
2.Вычислим необходимые геометрические величины,используемые вдальнейших расчетах.
sinα =
3
= 0,707; sin β =
1
= 0,316; sinγ =
4
=0,8.
32
+33
12
+33
42 +33
r =12⋅0,316=3,795 м;
R =12⋅0,707=8,48 м.
48
3 . Найдем усилия в стержнях6и8панели,включая стойки.
N1−2 −?
(сечение I-I).Исключаем усилия N2-3 и N3-4.
∑M3прав.ч. = 0;
V
⋅12+N
⋅4 −6⋅3−6⋅6 −6⋅9 −3⋅15=0,
N1-2= – 33,75кН
B
1−2
N 3−4− ?
(сечение I-I). Исключаем усилия N2-3 и N1
-2.
∑M2прав.ч. = 0;
V B⋅9− N3−4⋅4−3⋅12−6⋅6−6⋅3=0,
N3-4=
31,5 кН
N2−3−?
(сечение I–I). Исключаем N3-4 и N1-2.
∑Y = 0;
V B−N2−3⋅sin γ −3−6−6−6=0,
N2-3=
3,75 кН
N1−3−?
(вырезаем узел1)
1
∑Y = 0;
N1−3=0.
N1-3
N2−4−?
(вырезаем узел 4). 4
N2-4
∑Y = 0;
N2−4 =6
кН
F=6кН
N 5−6 −?
(сечение II-II). Исключаем N6-7 и N7-8.
∑M7 = 0;
V B⋅6+N5−6⋅r −6⋅3−3⋅9=0,
N5-6= – 26,09кН
N6−7 −?
(сечение II-II). Исключаем N5-6 и N7-8
∑M w = 0;
V B⋅6+N6−7⋅8,48−3⋅3−6⋅9=0,
N6-7
= 9,55 кН
N6−8 −?
(сечение III-III). Исключаем N6-9 и N7-8.
∑M w = 0;
V B⋅6+ N6−8⋅9−3⋅3−6⋅9=0,
N6-8= –9кН
N5−7−?
N5−7−? ( вырезаем узел 5 )
N5-2
5
β N5-6
N5-7
∑Y = 0;
N5−7+ N5−6⋅sin β =0;
N5−7= −N5−6sin β =8,243
кH
N7−8 −?
(сечение II-II). Исключаем N7-6
и N5-6
∑M6 = 0;
−V B ⋅3 + N7−8 ⋅3 + 3 ⋅6 = 0,
N7-8= 18кН
49
Вопросы и задачи для закрепления темы
1. Чем отличается расчетная схема фермы от реальной конструкции?
2. Какие деформации и усилия возникают в стержнях расчетной шарнирно-стержневой схемы при узловой нагрузке?
3. Запишите условие статической определимости и статической не-определимости фермы. Докажите статическую определимость фермы, по-казанной на рис. 3.18.
4. В каком случае для определения усилия в стержне используется метод вырезания узла?
5. Cформулируйте общий принцип подбора уравнений статики при определении усилия в стержне методом сечений.
6. Покажите часть фермы (рис. 3.16), отсеченную для определения усилия в стержне 4-5. Запишите уравнение статики, из которого определя-ется это усилие в общем виде и в развернутом виде через d и F.
1
2
3
4
5
F
6
7
F
h
8
9
10
11
12
d
d
F
d
d
F
d
d
Рис . 3.16
7. Перечислите нулевые стержни в ферме, показанной на рис. 3.17.
F
F
F
F
1
2
3
4
5
6
7
11
8
9
10
12
13
14
Рис . 3.17
8. 9. 10. Определите усилия в указанных стержнях фермы, изобра-
женной на рис. 3.18.
FF
F
3
4
8
F
1
2
9
10
h/2 h/2
5
6
7
11
12
13
d
d
2d
d
d
Рис . 3.18
Примите следующие числовые данные: F = 12 кН, d=4 м, h=3 м.
2019-08-13
489
Обсуждений (0)
N A-6
F F
