 |
Главная |
Определение внутренних усилий в арке
 2019-08-13 |
 343 |
 Обсуждений (0) |
из
5.00
|
| y | a | |||
| q | N k | x | ||
| Q k | M k | |||
| y k | ||||
| ___ | ||||
| φ k А | y | x | ||
| H | ||||
| V A | q | M k Б | x | |
| А | k | |||
| k Б | ||||
| V A Б | x k | |||
| Рис . 4.8 |
Получим выражения внутренних усилий, возникающих в произвольном се-чении k. Для этого покажем часть арки ле-вее этого сечения (рис. 4.8). Поперечную силу Q будем ориентировать перпендику-лярно касательной, а продольную N – вдоль касательной, проведенной к точке k.
Изгибающий момент М к найдем изуравнения статики: ∑M k лев. ч=0;
| M k =V A ⋅ x k − q ⋅ | ( x k −a )2 | − H ⋅ y k . | |
| 2 | |||
| M k Б | |||
| 54 |
Первые два слагаемых в этом выражении – балочный момент в сечении k.
___
Поперечную силу Q k найдем из уравнения статики∑ Y лев. ч=0;
Q k =(V A − q ⋅(x k − a))⋅cosϕ − H ⋅sin ϕ.
Q k Б
___
Продольную силу N к определим из уравнения∑ X лев. ч=0;
N k = −(V A −q ⋅(x k −a))⋅sinϕ − H ⋅cosϕ.
Q k Б
Приведем окончательные выражения усилий:
| M k = M k Б –H y k | (4.1) |
| Q k = Q k Б ·cos φ k – H·sin φ k | (4.2) |
| N k = – (Q k Б ·sin φ k + H·cos φ k ) | (4.3) |
Из этих выражений видно, что изгибающий момент в сече-ниях арки меньше по сравнению с балочным. Поперечная сила в ар-ке также уменьшена по сравнению с балочной. Однако в арке возникает сжимающая продольная сила значительной величины.В этом случае го-ворят, что арка работает преимущественно на сжатие . Хотя деформиро-ванное состояние зависит от характера внешней нагрузки.
4.4. Особенности расчета трехшарнирных рам
Так как в элементах рам возникает три внутренних усилия: изгибаю -
щий момент , поперечная сила и продольная сила,то аналитический расчетэтих конструкций состоит в построении эпюр M, Q и N.
Пример 4.1. Дана3-х шарнирная рама(рис. 4.9).Требуетсяопределить ре-акции опор и построить эпюры M, Q и N.
| q=3кН/м | F=12кН | |||
| 1 м | ||||
| H A | C | H B | м | |
| 3 | ||||
| А | B | |||
| 2 м | 4 м1 м | |||
| V A | V B | |||
Рис . 4.9
Решение .
1. Определяем опорные реакции, используя тот же алгоритм, что и при расчете трехшарнирной арки.
| ∑M B = 0; −V A ⋅6 +3⋅2 ⋅5 +12⋅4⋅ = 0; V A | = | 78 | =13 | кН; | |
| 6 | |||||
| ∑M A = 0; V B ⋅6 −3 ⋅2 ⋅1 +12 ⋅4 = 0; V B = | 42 = −7 | кН | |||
| 6 | |||||
| 55 | |||||
Реакция V B отрицательна, поэтому изменим ее направление на противопо-ложное (показано пунктиром).
| Проверка: ∑Y = 0; V A+V B − 3 ⋅2 =13 − 7 − 6 = 0; | 0 ≡ 0. | |||||||
| Проверка выполняется. | ||||||||
| ∑M C Л.Ч . = 0; V A ⋅2 − H A ⋅3 −3 ⋅2 ⋅1 = 0 | H А = | 13 ⋅2 − 6 | = 6,67 | кН; | ||||
| 3 | ||||||||
| ∑M C ПР.Ч . = 0; V В ⋅ 4 + H В ⋅3 −12 ⋅1 = 0 | H B | = − | 16 = −5,33 | |||||
| кН. | ||||||||
| 3 | ||||||||
Реакция отрицательна, поэтому изменим ее направление на противопо-ложное (показано пунктиром).
Проверка:
∑ X = 0; H A+H B −12 =5,33 − 6,66 +12 = 11,99 −12 = −0,01 ≈ 0; 0 ≡ 0.
Проверка выполняется.
2. Предлагается самостоятельно построить эпюры M, Q, N по харак-терным точкам. Порядок построения рассмотрен в приложении В.
3. На рис. 4.10 показаны эти эпюры, построенные в программной системе COMPASS.
| Схема рамы |
Эп . М
L2