Показательные уравнения, содержащие параметр

Большинство показательных уравнений с параметрами сводится к показательным уравнениям вида: а ^{f ( x )} = b ^φ(х) (*), где а>0, b>0.

Область допустимых значений такого уравнения находится как пересечение областей допустимых значений функций f ( x ) и φ(х). Для решения уравнения (*) необходимо рассмотреть следующие случаи:

1) При а=b=1 решением уравнения (*) является область его допустимых значений D.

2) При а=1, b≠1 решением уравнения (*) служит решение уравнения φ(х)=0 на области допустимых значений D.

3) При а≠1, b=1 решение уравнения (*) находится как решение уравнения f (х) = 0 на области D.

4) При а=b (а>0, а≠1, b>0, b≠1) уравнение (*) равносильно уравнению f (х) = φ (х) на области D.

5) При а≠b (а>0, а≠1, b>0, b≠1) уравнение (*) тождественно уравнению  (c>0, c≠1) на области D.

Пример . Решить уравнение: а ^{х + 1} = b ^{3 – х}

Решение . ОДЗ уравнения: х  R, а > 0, b >0.

  1) При а ≤ 0, b ≤ 0 уравнение не имеет смысла;

  2) При а = b = 1, х  R;

  3) При а = 1, b ≠ 1 имеем: b ^{3 – х} = 1 или 3 – х = 0  х = 3;

  4) При а ≠ 1, b = 1 получим: а ^{х + 1} = 1 или х + 1 = 0  х = -1;

  5) При а = b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) имеем: х + 1 =3 – х  х = 1;

  6) При ,  получим: уравнение , которое не имеет решения;

  7) При а ≠ b и  (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) прологарифмируем исходное уравнение по основанию а, получим:

, х + 1 = (3 – х) log _a b , .

Ответ : при а ≤ 0, b ≤ 0 или ,   уравнение не имеет решений;

        при а = b = 1, х  R ;

        при а = 1, b ≠ 1 х = 3;

        при а ≠ 1, b = 1 х = -1;

        при а = b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) х = 1;

        при а ≠ b (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1) .

Логарифмические уравнения, содержащие параметр

Решение логарифмических уравнений с параметрами сводится к нахождению корней элементарного логарифмического уравнения. Важным моментом решения уравнений такого типа является проверка принадлежности найденных корней  ОДЗ исходного уравнения.

Пример . Решить уравнение 

.

Решение . ОДЗ: х > 1, а > 0, а ≠ 1.

Осуществим на ОДЗ цепочку равносильных преобразований исходного уравнения:

Так как х ≠ -1 и  х ≠ 1, сократим обе части уравнения на (х - 1) и на . Тогда получим .

Возведем обе части полученного уравнения в квадрат:

.

Так как а ≠ -1 и  а ≠ 1, то .

Для того чтобы значения х являлось решением уравнения, должно выполняться условие х > 1, то есть .

Выясним, при каких значениях параметра а, это неравенство истинно:

, .

Так как а > 0, то полученная дробь положительна, если 1 – а⁴ > 0, то есть при а < 1.

Итак, при 0 < a < 1 x > 1, значит при 0 < a < 1 х является корнем исходного уравнения.

Ответ : при а ≤ 0, а = 1 уравнение не имеет смысла;

при а > 1 решений нет;

при 0 < a < 1 .

Замечание: Тригонометрические уравнения, содержащие параметр, не рассматриваем, то есть, не рассматриваем методы решения уравнений такого вида, так как существует большое количество специфических методов решения, именно, тригонометрических уравнений, содержащих параметр. Для этих методов существует большое количество материала, исследование которого может рассматриваться, как отдельная тема.