ДРОБИ И ДЕЙСТВИЯ С НИМИ

Действия с дробями проходят через всю школьную математику. В жизни мы не очень много с ними сталкиваемся, хотя постоянно слышим и говорим — половина, четверть, треть. Но на всех экзаменах будут примеры на дроби и действия с ними. Очень редкие калькуляторы помогут вам в этом. Да ещё вам сначала придётся научиться использовать такой хитрый калькулятор. Довольно часто вычисления с дробями встречаются в физике, химии и изредка в биологии.

Дроби были придуманы людьми для того, чтобы справиться с проблемой деления с остатком.

8: 2 = 4 (ровно, без остатка), а 9: 2 = 4 и остаток 1.

Дробить — значит разбивать на более мелкие части. И в математике дробь — это что-то меньше, чем целая единица. Мне нравится использовать для примера тортики. Почему-то ученики с удовольствием придумывают способы для того, чтобы разделить тортики на несколько равных частей. Собственно, это и есть применение математики в жизни.

Если мы разделим тортик на две части, то их называют половинки, или если в виде дроби — «одна вторая».

Если ученик сам не смог вспомнить — как называются числитель и знаменатель, то надо ему на них показать, назвать и попросить самому дать определения этим словам, а потом потренировать, показывая ему на примеры дробей. Эти слова часто используют в математике, физике и даже просто в жизни: вы слышали когда-нибудь — «надо их к одному знаменателю привести»? «Привести», кстати, в математике означает не «переместить к нужному пункту что-то или кого-то». Как «привести машину к подъезду». В математике «привести» — значит сделать действия в соответствии с правилами, чтобы получилось что-то одно или одинаковое с чем-то. То есть надо сделать так, чтобы у дробей были одинаковые знаменатели.

Попросите ученика разделить «тортики» (круги) на 4 равные части, на 8 частей, на 3 части. Пусть поищут способы, чтобы части были равными.

Скажите, что когда делим на 4 части, то одна из частей называется одна ЧЕТВЁРТАЯ, две таких части — две четвёртых, три — три четвертых. Пусть он попрактикуется в названии разных дробей пока не поймёт это очень хорошо.

Потом спросите — как нам сложить одинаковые части? Одна четвёртая и одна четвёртая будет сколько? Правильно — две четвёртых. То есть, если мы складываем дроби с одинаковым знаменателем — мы не трогаем знаменатели, они остаются теми же, а числители складываем. Если ученик будет складывать знаменатели (например, одна вторая и одна вторая у него будет получаться две четвёртых, а это неверно!), попросите его нарисовать на тортике — что у него получается, какие части торта и пусть он сравнит наглядно с тем, что должно получиться при правильном сложении.

Далее нам надо сложить дроби с разными знаменателями. Если у него трудности, то я объясняю, как это делается на таком примере:

Эти части тортика — разные по величине. Их можно сдвинуть вместе, и мы получим какую-то реальную часть тортика:

Но в числовом примере нам надо их ещё как-то записать, а для устного ответа — назвать правильными словами. Для этого нам надо разбить эти части на более мелкие, которые будут одинаковы. Например так:

Вот в этих более мелких частях мы и запишем ответ. Если мы разделим каждую одну четвёртую на три части, а одну третью на четыре, то это будут более мелкие и одинаковые — двенадцатые части. Одна четвёртая будет состоять из трёх двенадцатых, а одна третья из четырёх двенадцатых. И вместе это будет — семь двенадцатых.

Надо потренировать ученика складывать разные дроби до уверенности. Потом те же принципы применяются при сложении дробей в алгебре в 6 классе и старше — где вместо чисел будут разные буквы и целые выражения. Но правила сложения и умножения дробей ТЕ ЖЕ самые.

Умножение дробей

Если ученик легко складывает дроби, то я перехожу к умножению дробей. Тут надо просто запомнить правило: при умножении дробей числитель умножается на числитель, а знаменатель — на знаменатель.

Конечно, надо до уверенности попрактиковаться в этом действии!

Деление дробей

При делении дробей можно, конечно, разделить числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель. Но это не всегда получается — если мы в предыдущем примере попробуем разделить 2 на 3 и 5 на 7, то вряд ли получится что-то удобное. Потому делают так: вторую дробь переворачивают, и первую дробь умножают на ПЕРЕВЁРНУТУЮ вторую дробь.

Это правило надо понять и усвоить. И, конечно, надо до уверенности попрактиковаться в этом действии!

ПРОПОРЦИИ

«Пропорцией» называют равенство двух отношений. «Отношением» в математике называют просто действие деления. То есть «2 делить на 5», также называется «отношение двух к пяти». 2: 5 — это отношение. Тогда пропорция будет 2: 5 = 4: 10, или 5: 15 = 1: 100. Первая пропорция верная, а вторая пропорция — неверная, потому что результаты деления во втором примере не одинаковы. Эти понятия надо хорошо понять и запомнить, так как они используются много в математике, физике, химии и в жизни. Придумайте несколько предложений или идей с этими понятиями, если они вам не очень знакомы.

В пропорции 2: 5 = 4: 10 числа 2 и 10 называются КРАЙНИМИ членами пропорции, а 5 и 4 — средними членами пропорции, потому что 2 и 10 находятся на краях слева и справа в этой записи, а 5 и 4 — в середине записи. Для любой ВЕРНОЙ пропорции будет выполняться равенство

2 × 10 = 4 × 5

То есть: 20 = 20 — верно

Или словами: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов пропорции. Это свойство применяется для облегчения решения разных задач. Так, часто может быть трудно сообразить — что надо сделать с двумя действиями деления или с двумя дробями.

Например: 25: Х = 2: 10 — тут даже супер-отличник может голову сломать, решая это уравнение. Используем свойства пропорции:

25 × 10 = 2 × Х
или 2 × Х = 25 × 10 2 × Х = 250
тогда Х = 250: 2

Х = 125 — мы нашли решение!

ПРОЦЕНТЫ

Проценты прочно вошли в нашу жизнь в банках, на работе и в магазинах. Про них надо знать и достаточно хорошо разбираться в них для успешного выживания в этом мире продаж, скидок и кредитов.

Слово «процент» — латинское, означает «делить на сто». Обозначается как %. Примеры: 5%, 20%, 156%. Родственные слова: цент — сотая часть доллара или евро, центнер — 100 кг. То есть это просто сотая часть от чего-то. 20% тортика — это если мы разделим тортик на 100 частей и возьмём 20 таких частей. То есть в виде дроби это 20 сотых, 0,20; или 20/100.

В различных задачах на проценты самое главное — понять: что же надо взять за 100%? Это обычно что-то, что является целым или главным — все деньги на какой-то момент, всё количество чего-то (все конфеты, всё молоко, весь тортик). В сложных задачах часто в первой части задачи за 100% берётся что-то одно, а потом во второй части задачи за 100% надо принимать уже что-то другое.

Есть несколько способов решения задач на проценты: можно их решать, исходя из смысла понятия «процент» и выводить формулы самому каждый раз, а можно использовать формулы механически, но тогда можно ошибаться на «каверзных» задачах.

Самый элементарный способ — это решать задачи через расчёт 1%. Например: Вася отдал в банк 1200 р. под 8% годовых. Сколько он получит через год денег из банка?

Первый способ решения: за 100% надо взять всю исходную сумму 1200 р. (всё, что было в начальный момент времени; вся сумма с которой начисляются проценты)

Тогда 1% будет 1200: 100 = 12 (рублей)

И тогда 8% будет 1% × 8 = 12 р. × 8 = 96 р.

Значит получит Вася 1200 р +96 р. = 1296 р.

Второй способ решения: через составление пропорции

вся исходная сумма 1200 р. — это 100%

через год будет неизвестная сумма Х,

которая в процентах будет равна

100% (начальных) +8% (начисленных) = 108% (через год)

Значит Х р. — это 108%

получается пропорция 1200 р: 100% = Х р: 108%

По свойству пропорции (произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов пропорции):

100 × Х = 1200 × 108

100 × Х = 129600

то есть Х = 129600: 100 = 1296 (р.)