Задача на проценты посложнее

Пылесос стоил в магазине 2000 р. На него сделали скидку 10%. Но через неделю увеличили цену на 10%. Сколько пылесос стоит теперь?

Решение: Кажется, что пылесос должен стоить опять 2000 р. Ведь мы уменьшили на 10%, а потом на 10% увеличили. Ведь если увеличить на 10 рублей, а потом уменьшить на 10 рублей, то будет тоже самое число. Но в процентах это не так! Почему? Потому что надо хорошо понимать — что у нас было взято за 100%.

Вначале 100% было 2000 р.

тогда 10% — это 200 р.

И со скидкой пылесос стал стоить 100% — 10% = 90% от первоначальной стоимости, в рублях 2000 — 200 = 1800 р.

Теперь он стоит 1800 р и мы увеличиваем цену на 10%.

Но теперь уже 100% будет не 2000 р, а 1800 р.!!!

И нам надо делать НОВЫЙ расчёт!

И теперь 100% — это уже 1800 р.

тогда НОВЫЕ 10% — это 180 р.

И с увеличенной ценой пылесос стал стоить 100% +10% = 110% от второй цены (цены со скидкой), в рублях это 1800 +180 = 1980 р.

Конечно, это примерно равно 2000, но всё же это немного МЕНЬШЕ. А математика — наука точная. И в банках её очень точно применяют. Потому что в этой задаче разница была 20 рублей, а когда такие задачи решают для всей страны, то разница может получиться в миллионы рублей. А это уже большие деньги.

Самая коварная задача на проценты

И теперь — самая коварная задача на проценты. (Но такие задачи не дают на экзаменах — они слишком сложные!): На складе было 100 кг огурцов 98% влажности. За время хранения они усохли до 97% влажности. Сколько огурцов осталось?

Попробуйте решить её сначала сами. Кажется, что должно остаться довольно много — 95—97 кг. Но на самом деле это не так. Проценты бывают обманчивы!

Решение: Конечно, за 100% мы берём 100кг.

Тогда 1% — это 1 кг. Это просто.

И 98% воды — это 98 кг. Точно!

А что же дальше? Как теперь 98 кг связать с 97% влажностью усохших огурцов? Сколько там будет 100%? Неизвестно! Ведь воды стало меньше и её теперь не 98 кг!

Что же НЕ изменилось? На что же мы можем опираться в задаче? Не изменился «сухой остаток» огурцов. А это было вначале 2%, или 2 кг. Эти 2 кг не усохли и теперь именно они стали «сухим остатков» усохших огурцов. И это составляет теперь 3% (вместе с 97% воды будет как раз 100%)!

Итак, 2 кг «сухого остатка» стало 3%,

Тогда 1% будет 3: 2 = 0,67 кг (примерно)

Значит 100% будет 1% × 100 = 0.67 × 100 = 67 кг!

Трудно поверить в такой результат! Разница в 1% дала изменение в 33 кг! Но это пример точных расчётов процентов. Так что надо очень хорошо себе представлять — что берётся за 100% и что же мы ищем.

СВОЙСТВА РАВЕНСТВ

Равенство — это математическая запись со знаком = «равно». Они бывают верные (3 +5 = 8) или неверные (2 +2 = 30). Для всех верных равенств можно переносить числа из правой части равенства в левую, при этом, чтобы равенство сохранялось, мы у тех чисел, которые переносим, должны поменять знак на противоположный. Например:

3 +5 = 15 — 7

То есть: 8 = 8

Перенесём 5 в правую часть равенства, а 7 — в левую. При этом мы должны поменять у них знак на противоположный. У 5 был знак +, теперь станет –. У 7 был знак –, станет +.

3 +7 = 15 — 5

Мы получим: 10 = 10

Равенство сохранилось, хотя теперь у нас результат вычислений другой. Если мы не будем менять знаки для переносимых чисел — равенство не будет сохраняться. Попробуйте убедиться сами в этом. Потренируйтесь с другими примерами в перенесениях чисел (каких захотите) из левой части равенства в правую и наоборот. Это один из главных навыков в математике, его надо усвоить очень хорошо и на всю жизнь.

УРАВНЕНИЯ

Сейчас школьников начинают учить решать уравнения иногда с первого класса. Но трудности при решении уравнений могут сохраняться до окончания школы.

В младших классах учат решать самые простые уравнения — с одной переменной. Переменная — это что-то, что может меняться. Если мы возьмём число 5 — оно не будет меняться. 5 — это всегда 5. И потому такие величины называют ещё «постоянными». Все числа — это постоянные! А величины, которые мы можем менять или которые могут меняться и принимать РАЗНЫЕ значения, называются «переменными» и обозначаются они в математике латинскими буквами. Обычно маленькими латинскими буквами, например: х, у, z, a, b и так далее.

Самые простые уравнения легко решаются, если хорошо знать таблицы сложения, умножения и правила вычислений. Например:

Х +5 = 8

Что бы равенство было верным, х должен быть равен 3. Только тогда мы получим 8, если прибавим 5 к х.

Или

5х = 25

Это будет верно, только если х = 5.

Ведь только 5 × 5 = 25.

Но есть точная последовательность действий, которую разработали математики для точного решения уравнений типа

3 +4х — 8 — 12х = 5х — 15 +9 (3х +4)

— Надо выполнить все действия, какие возможно (сложить числа друг с другом, сделать действия в скобках, если можно, или раскрыть скобки, если там нельзя сделать действия).

3 — 8 +4х — 12х = 5х — 15 +9 × 3х +9 × 4

— 5 — 8х = 5х — 15 +27х +36

— 5 — 8х = 32х +21

— Теперь надо перенести все переменные в левую сторону от знака равенства, а все числа — в правую. При этом мы применяем правила переноса через знак равенства — меняем знаки у тех чисел, которые переносим, на противоположные. (В школе я сам старался записывать сначала те величины, которые ОСТАЛИСЬ на той же части равенства и не поменяли знаки, а потом записывал те величины, которые перенёс (с изменёнными знаками). Но это просто ещё одно правило, которое помогает уменьшать число ошибок и облегчает проверку.)

— 8х — 32х = 21 +5

3) Приводим подобные. («Приводим подобные» — это математический термин. Означает, что надо выполнить действия с похожими слагаемыми. Подобными будут все числа (3, 5, 32, 184 — это всё подобные), а также слагаемые в которых одинаковая буквенная часть (5х, х, 32х — это подобные. Вот более сложные: 4abz, abz, 12abz — это тоже подобные, а 5х и 5у — это НЕ подобные — у них РАЗНЫЕ буквенные части). Надо хорошо понимать — что значит «привести подобные» и уметь выполнять это действие. Это ПОСТОЯННО используется в математике. И эти слова математики часто говорят.

— 40х = 26

4) Теперь мы получили простое уравнение. Х — здесь множитель. Как мы находим неизвестный множитель? Мы делим произведение на известный множитель.

Х = 26: (–40)

И ответ: Х = — 26/40

Этот ответ немного странно выглядит, но уравнение было взято для примера. Вы можете сами составить похожие уравнения для тренировок правильного порядка действий. Главное — чтобы ученик выполнял все действия уверенно. Если результат кажется вам странным — проверьте все действия. Но вот что никогда не надо делать — это ПОДГОНЯТЬ ваш ответ под что-то «красивое», или под ответ соседа, или под ответ в книжке. «Красиво» — не всегда правильно, сосед может ошибиться, и даже в учебниках бывают опечатки.

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ НАВЫКИ