Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Длина отрезка

Введение

Большое значение комплексных чисел в математике и ее приложениях широко известно. Особенно часто применяются функции комплексного переменного. Их изучение имеет самостоятельный интерес.Вместе с тем алгебру комплексных чисел можно успешно использовать в элементарной геометрии, тригонометрии, теории геометрических преобразований, а также в электротехнике и различных задачах с механическим и физическим со­держанием.

Метод комплексных чисел позволяет решать планиметрические задачи по готовым формулам прямым вычислением, элементарными выкладками. Выбор этих формул с очевидностью диктуется условиями задачии ее тре­бованием. В этом состоит необычайная простота этого метода по сравнению с координатным,векторным и другими методами, требующими от решающе­го порой немалой сообразительности, длительных поисков, хотя готовое ре­шение может быть очень коротким.

В данной работе излагаются основы метода комплексных чисел в при­менении к задачам элементарной геометриина плоскости и доказательству некоторых основных планиметрических теорем.

Конечно, одна работа не может вместить все существующие теоремы и задачи. Здесь будут рассмотрены лишь некоторые темы, по каждой из которых будет решен ряд задач, наиболее наглядно показывающих простоту этого метода.

 

Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Длина отрезка

 

При заданной прямоугольной декартовой системе координат на плоскос­ти комплексному числу z = x+iy (i²= -1) можно взаимно однозначно по­ставить в соответствие точку М плоскости с координатами х, у (рис.1):

       .

Число z тогда называют комплексной координатой точки М.

Поскольку множество точек евклидовой плоскости находитсяво взаим­но однозначном соответствии с множеством комплексных чисел, то эту плос­кость называют также плоскостью комплексных чисел. Начало О декартовой системы координат называют при этом начальнойили нулевой точкой пло­скости комплексных чисел.

При у=0 число z действительное. Действительные числа изображаются точками оси х, поэтому она называется действительной осью. При х=0 число z чисто мнимое: z = iy . Мнимые числа изображаются точками оси у, поэтому она называется мнимой осью. Нуль - одновременно действительное и чисто мнимое число.

Paccтoяниe от начала О плоскости до точки М(z) называется модулем комплексного числа z и обозначает­ся | z | или r:

|z| = r = |OM| = .

 Если  — ориентированный угол, образованный вектором с осью х, то по определению функции синуса и косинуса

откуда  и поэтому .

Такое представление комплексного числа z называется его тригонометри­ческой формой. Исходное представление z = x + iy называют алгебраичес­кой формой этого числа. При тригонометрическом представлении угол  называют аргументом комплексного числа и обозначают еще через arg z :

.

Если дано комплексное число z = x + iy , то число  называется комплексно-сопряженным (или просто сопряженным) этому числу z. Тогда, очевидно, и число z сопряжено числу . Точки М(z) и  симметричны относительно оси х (рис.2).      

Из равенства следует y=0 и обратно. Это значит, что число, рав­ное своему сопряженному, является действительным и обратно.

 

                        

 

Точки с комплексными координатами z и -z симметричны относитель­но начальной точки О. Точки с комплексными координатами z и  сим­метричны относительно оси у. Из равенства z =  вытекает x =0 и об­ратно. Поэтому условие z =  является критерием чисто мнимого числа.

Для любого числа z, очевидно, |z | = | | = |- z | = | |.

Сумма и произведение двух сопряженных комплексных чисел являются действительными числами: .

Число, сопряженное с суммой, произведением или же частным комплекс­ных чисел, есть соответственно сумма, произведение или же частное чисел, сопряженных данным комплексным числам:

Эти равенства можно легко проверить, пользуясь формулами для опе­раций над комплексными числами.                                                                                                                  

Каждой точке М( z ) плоскости - взаимно однозначно соответствует век­тор . Поэтому комплексные числа можно интерпретировать векторами, приложенными к точке O. Сложению и вычитанию комплексных чисел отвечает сложение и вычитание соответствующих им векторов. Именно если а и b - комплексные координаты точек A и В соответственно, то число с=а+ b является координатой точки С, такой, что  (рис.3). Комплексному числу d = a - b соответствует такая точка D , что .

 Расстояние между точками А и В равно :

|АВ| = |а- b |.                                                (1)

                        

Так как | z |²= z , то                                        

 | AB | ² =(a-b)( ).                                         (2)

Уравнение z = r ² определяет окружность с центром О радиуса r. Отношение , в котором точка С делит данный отрезок АВ, выражается через комплексные координаты этих точек так:

откуда                                                                                               (3)

Если положить  и , то                                                            

                                      (4)

Условия (4) необходимы и достаточны для того, чтобы точки А, В, С были коллинеарны.

При точка С является серединой отрезка AB, и обратно.

Тогда:

c = .                                        (4a)

Пусть имеем параллелограмм ABCD . Его центр имеет комплексную координату  =  при условии, что точки А, В, С, D имеют соответственно комплексные координаты а, b , с, d . Если не исключать случай вырождения параллелограмма, когда все его вершины оказываются на одной прямой, то равенство

                                                    a+c = b+d                                               (5)

 

является необходимым и достаточным условием того, чтобы четырехуголь­ник ABCD был параллелограммом.

 

Задача 1. Точки М и N — середины диагоналей АС и BD четырех­угольника ABCD. (Рис.1)

Доказать, что |AB|²+|BC|²+|CD|²+|DA|² = |AC|²+|BD|²+4| MN |².

Решение. Пусть точкам A, В, С, D, М, N соответствуют комплексные числа а, b , с, d, т, п.

Так как m =  и n = , то 

|AB|²+|BC|²+|CD|²+|DA|²           

|AC|²+|BD|²+4|MN|²

.

Равенство доказано.

 

Задача 2. Доказать, что если в плоскости параллелограмма ABCD существует такая точка М, что |MA|²+|MC|²=|MB|²+|MD|², тo ABCD - прямоугольник. (Рис.2)

Решение. Если за начальную точку принять центр параллелограм­ма ABCD, то при принятых ранее обозначениях с= - a , d = - b , и поэтому данное в условии равенство будет эквивалентно равенству , которое означает, что диагонали параллелограмма равны, т. е. он прямоугольник.

Задача 3. Доказать, что сумма квадратов диагоналей AC, BD четырехугольника ABCD равна удвоенной сумме квадратов отрезков MN , PQ , соединяющих середины противополож­ных сторон . (Рис.3)

                                                             

               C

B                                                      B                           C

N   M                                               MЬ                                   

                                                                       

A                            D               A                        D

Рис. 1                                                           Рис. 2

Решение. Требуется доказать:

Запишем левую часть равенства в комплексной форме: . Воспользовавшись (4a), находим комплексное равенство правой части и непосредственным подсчетом убеждаемся, что она равна левой.

 

                          B

                                    P   

                                                     C

M                                                

                                                     N

      A              

                                 Q           D

                          Рис. 3  

Задача 4. Доказать, что сумма квадратов медиан BM , AN , CP треугольника ABC равна  суммы квадратов его сторон. (Рис.4)

Решение. Требуется доказать:  Запишем левую часть, воспользовавшись формулами (2) и (4а), и убедимся в том, что она равна правой.

Задача 5. Доказать, что расстояние от вершины С треугольника АВС до точки D, симметричной центру описанной окружности относительно прямой АВ, вычисляется по формуле |CD|²=R²+|AC|²+|BC|²-|AB|², где R -радиус описанной окружности. (Рис.5)

Решение. Точка M является серединой АВ, так как центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров.

Точка М - середина О D (по условию).

 Тогда, . Воспользуемся этим равенством, формулами (2) и (4а) и убедимся в справедливости |CD|²=R²+|AC|²+|BC|²-|AB|².

 

                 

D    M O

                B                                                                                                                                                 B   

                             N

   P                      

                                                                                   A

                            C

A          M                                           C

      Рис. 4                                                   Рис. 5

 

Параллельность и перпендикулярность. Коллинеарность трех точек

 ОПР: Пусть на плоскости комплексных чисел даны точки А(а) и B(b). Векторы  и  сонаправлены тогда и только тогда, когда arg a = arg b, т. е. при arg а - arg b = arg =0 (при вычитании комплексных чисел, из аргумента делимого вычитается аргумент делителя!).

 Очевидно также, что эти векторы направлены противоположно в том и только в том случае, если arg a - arg b=arg _.

Комплексные числа с аргументами 0, , являются действительными. ТЕОРЕМА (Критерий коллинеарности точек О, А, В): Для того чтобы точки А(а) и В( b ) были коллинеарны с начальной точкой О, необходимо и достаточно, чтобы частное  было действительным числом, т. е.

 

                                            или                                                (6)

 

Действительно, так как в этом случае число  действительное ( k = ), то кри­терий (6) эквивалентен такому:

                                                                     .                                                            (7)

 

Возьмем теперь точки A(а), B(b), C(c), D(d).

ОПР: Векторы  и  колли­неарны тогда и только тогда, когда точки, определяемые комплексными числами а—b и с—d, коллинеарны с началом О.   

Замечание:

1. На основании (6) имеем:

 

                                       ;                  (8)

2. Если точки А, В, С, D принадлежат единичной окружности =l,то

, и поэтому условие (8) принимает вид:

 ;                                          (9)

3. Коллинеарность точек A , В, С характеризуется коллинеарностью век­торов  и . Используя (8), получаем:

.                                   (10)

Это критерий принадлежности точек A , B , С одной прямой. Его можно представить в симметричном виде

                               (11)

Если точки A и B принадлежат единичной окружности =l, то , и поэтому каждое из соотношений (10) и (11) преобразуется (после сокращения на (а- b ) в такое:

                                                                                                    (12)

Точки А и В фиксируем, а точку С будем считать переменной, переобозна­чив ее координату через z. Тогда каждое из полученных соотношений (10), (11), (12) будет уравнением прямой АВ:

 

,                                  (10а)               

                                                 .                                           (12a)

 В частности, прямая ОА имеет уравнение

 Переходим к выводу критериев перпендикулярности отрезков. Ясно, что

  Комплексные числа с аргументами  и - являются чисто мнимыми.

 

 Поэтому,     

или

                                                                                      (13)  

Отрезки АВ и CD перпендикулярны тогда и только тогда, когда векторы точек с комплексными координатами а— b и с— d перпендикулярны. В си­лу (13) имеем:

                                                      (14)

В частности, когда точки А, В, С, D принадлежат единичной окружности =l, то зависимость (14) упрощается:

                                                                                    (15)

Выведем уравнение касательной к единичной окружности =l в ее точке

P (р). Если М (z) — произвольная точка этой касательной, то  и обратно. На основании (14) имеем:

или

.

Поскольку , то уравнение касательной становится таким:

                                                      .                                             (16)

Это частный случай уравнения (12a) при а= b =р. Решим еще две вспомогательные задачи, необходимые для решения содержательных геометрических задач.

 

Задача 1. Найти координату точки пересечения секущих АВ и CD единичной окружности =l, если точки А, В, С, D лежат на этой окруж­ности и имеют соответственно комплексные координаты а, b , с, d .

Пользуясь уравнением (12а), получаем систему

 из которой почленным вычитанием находим:

                                                                                             (17)

В том частном случае, когда хорды АВ и CD перпендикулярны, в силу (15) ab =- cd , и поэтому результат (17) приводится к виду

откуда        

                                                (18)

В этом случае точка пересечения определяется только тремя точками A, В, С, так как , и, значит,

                                               (19)

3адача 2. Найти комплексную координату точки пересечения касатель­ных в точках A (а) и B(b) единичной окружности =l. Для искомой координаты z имеем систему

из которой находим:

Поскольку  то получаем окончательно:

                                      или                                          (20)

Покажем теперь метод комплексных чисел в действии, применяя его к доказательству классических теорем элементарной геометрии.

 

Теорема Ньютона . В описанном около окружности четырехуголь­нике середины диагоналей коллинеарны, с центром окружности.

 

                        

Доказательство. Примем центр окружности за начало, полагая ее радиус равным единице. Обозначим точки касания сторон данного четы­рехугольника A_oB_oC_oD_o через А, В, С, D (в круговом порядке) (рис.4). Пусть М и N — середины диагоналей А_oС_o и B_oD_o соответственно. Тогда согласно (20) точки А_o, В_o, С_o, D_o будут иметь соответственно комплексные координаты:

где a, b, c, d – комплексные координаты точек A, B, C, D.

Поэтому

Вычисляем  Поскольку то непосредственно видно, что На основании (6) точки О, М, N коллинеарны.

 

Теорема Гаусса. Если прямая пересекает прямые, содержащие стороны ВС, СА, АВ треугольника АВС соответственно в точках А₁, B₁, C₁, то середины отрезков АА₁, ВВ₁, СС₁ коллинеарны (рис.5).

 

Доказательство. Используя (11), запишем условия коллинеар­ности троек точек АВ₁С, СА₁В, ВС₁А, A₁B₁C₁:

 

                                                                   (21)

Если М, N , P — середины отрезков AA ₁ , BB ₁ , CC ₁ , то предстоит показать, что

 

                                                                       (22)

Так как  то доказываемое равенство (22) эквивалентно такому:

     

или после перемножения:

 

                                                    (23)

Теперь легко видеть то, что (23) получается почленным сложением ра­венств (21). Доказательство закончено.

 

Теорема Паскаля . Точки пересечения прямых, содержащих про­тивоположные стороны вписанного шестиугольника, лежат на одной прямой.

 

Доказательство. Пусть в окружность вписан шестиугольник ABCDEF и  (рис.6). Примем центр окружности за нулевую точку плоскости, а ее радиус - за единицу длины. Тогда согласно (17) имеем:

Вычисляем

и аналогично

Далее находим:

 

Поскольку числа  равны соответственно , то устная проверка обнаруживает, что найденное выражение совпадает со своим сопряженным, т. е. является действительным числом. Это означает коллинеарность точек М, N , Р.

Teopeмa Mонжа . Во вписанном в окружность четырехугольнике прямые, проходящие через середины сторон и. каждой диагонали перпенди­кулярно противоположным сторонам и соответственно другой диагонали, пересекаются в одной точке. Она называется точкой Монжа вписанного четырехугольника.

 

Доказательство. Серединные перпендикуляры к сторонам че­тырёхугольника ABCD пересекаются в центре описанной окружности, который примем за начальную точку. Для каждой точки М( z ) серединного перпендикуляра к [AB] число чисто мнимое.

В частности, при z=0 оно равно . Для каждой точки N ( z ) прямой, проходящей через середину стороны CD перпендикулярно (AB), число  необходимо будет чисто мнимым и обратно. Но для z=  оно равно т. е. чисто мнимое. Следовательно, точка Е с комплексной координатой

 лежит на указанной прямой. А это выражение симметрично относительно букв а, b, с, d. Поэтому и остальные пять аналогично построенных прямых содержат точку Е.

Решим ещё несколько основных планиметрических задач.

3адача 3. Доказать, что диагонали четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма квадратов двух его противоположных сторон равна сумме квадратов двух других противоположных сторон.

Решение. Требуется доказать:

Запишем   используя (15): . Тогда, воспользовавшись формулами (15), (2) и тем, что точки A , B , C , D принадлежат окружности , приходим к выводу, что

3адача 4. Доказать, что если средние линии MP , NQ четырехугольника ABCD равны, то его диагонали AC и BD перпендикулярны и обратно.

Решение. Требуется доказать: .

(a)  так как

 , cогласно (4a). Подставим эти выражения в равенства (a) и получим:  но это и есть условие того, что (см. 14).