Определение статистических характеристик случайных процессов в линейных системах
Задающее воздействие и внутренние возмущения (флуктуации частоты, фазы, задержки) являются случайными процессами с нормальным законом распределения, который не изменяется при прохождении процессов через линейные цепи. Флюктуационная составляющая напряжения на выходе дискриминатора (t) также процесс случайный, и хотя не всегда имеет нормальный закон распределения, но при прохождении через последующие узкополосные линейные цепи нормализуется. Случайный процесс с нормальным законом распределения определяется математическим ожиданием и корреляционной функцией. Методы определения математического ожидания рассмотрены в предыдущем разделе. Рассмотрим методы определения корреляционной функции и связанной с ней дисперсией случайных процессов. Спектральная плотность процесса на выходе и входе линейной системы связаны зависимостью , где - частотная передаточная функция системы; - спектральная плотность процесса на входе. Преобразовав по Фурье правую и левую часть можно определить корреляционную функцию: . Дисперсия случайного процесса на выходе линейной системы: (1) или: , (2) где Sv(w) –двусторонняя спектральная плотность процесса на выходе системы. При использовании односторонней спектральной плотности N(f) выражение (2) может быть записано в виде: , где ; . Расчет дисперсии случайного процесса с помощью стандартных интегралов Для упрощения вычисления интеграла (6.1) его приводят к стандартному виду: , где ─ полином четной степени частоты ; - полином, корни которого принадлежат верхней полуплоскости комплексной переменной ; n – степень полинома . Вычисление производят по формулам: ; ; . При n>3 формулы для расчетов можно найти в справочнике. Условие применения стандартных интегралов: полином под интегралом должен быть дробно-рациональной функцией переменной и система должна быть устойчивой. Рассмотрим пример расчета дисперсии ошибки слежения в системе, представленной структурной схемой (рис.1).
Рис.1. К примеру расчета дисперсии ошибки слежения. Исходные данные: ─ флюктуационная составляющая, определяемая спектральной плотностью . Рассчитаем дисперсию ошибки слежения по формуле дисперсию по формуле: . Передаточная функция от воздействия к ошибке ; ; . Выполним расчет: ; ; ; ; ; ; ; ; ; . (3) Приведем ко входу дискриминатора и упростим выражение (3) , (4) где ; - спектр приведенного ко входу дискриминатора случайного процесса. Таким образом, дисперсия ошибки слежения пропорциональна коэффициенту усиления разомкнутого контура следящей системы и спектральной плотности флюктуационной составляющей. Если вместо пропорционально-интегрирующего фильтра использовать интегратор, то: , и ; Если на вход инерционного звена с передаточной функцией подать шум со спектральной плотностью , то дисперсия на выходе будет равна ; Таким образом шум вызывает одинаковый эффект на выходе инерционной цепи и в следящих системах, содержащих одно интегрирующее звено с добротностью, обратной постоянной времени . Если следящая система содержит в качестве фильтра последовательное соединение инерционного звена и интегратора, то в этом случае ; ; ; . Следовательно, постоянная времени инерционного звена не влияет на величину флюктуационной ошибки (дисперсию). Это объясняется тем, что при увеличении инерционного звена сужается полоса системы, но одновременно увеличивается максимум АЧХ, а площади под кривыми не изменяются (рис.2).
Рис.2. Зависимость АЧХ от постоянной времени инерционного звена. Используя (4) можно оптимизировать параметры системы, в частности по критерию минимума флюктуационной ошибки. С этой целью продифференцируем (6.4) по и приравняем производную нулю. ; ; ; ; ; при ; ; Подставив в (4), получим , где - собственная частота следящей системы. Если задающее воздействие представлено спектральной плотностью неточность его воспроизведения также оценивается дисперсией. Рассмотрим пример (рис.3).
Рис.3 Пусть ; , где ─ дисперсия задающего воздействия; - параметр, определяющий ширину спектра. Определим величину дисперсии ошибки слежения , обусловленную неточностью воспроизведения задающего воздействия. ; , где ; - коэффициент передачи интегратора; - крутизна дискриминационной характеристики. ; ; приведем выражение к стандартному виду: ; (jw) =( +jw) (Kv+jw) =(jw) 2 +( +Kv) jw+ Kv; ; ; ; ; ; ; ; ; При увеличении уменьшается, в то время как в первом примере увеличивается.
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (268)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |