Поскольку задачи математического программирования применительно к различным экономическим объектам формулируются в виде конкретных оптимизационных моделей, то математическая форма последних представляется в виде задач линейного, нелинейного, целочисленного, динамического программирования и т.д. Несмотря на возможную единую форму математического описания моделей, их экономическое наполнение может существенно отличаться.
Оптимизационная модель – это экономико-математическая модель, которая охватывает некоторое число вариантов производства, распределения или потребления продукции и предназначена для выбора таких значений переменных, характеризующих эти варианты, чтобы был найден наилучший из них.
Структура оптимизационной модели обязательно включает целевую функцию, максимум или минимум которой требуется найти (в случае многокритериальной задачи модель может включать несколько целевых функций), а также ограничения в виде системы уравнений или неравенств.
Процесс разработки и реализации оптимизационной модели состоит из нескольких этапов:
-постановка задачи;
- формализованное описание модели;
- подготовка исходной информации;
- обоснование способа решения модели и поиск решения;
- анализ полученных результатов.
При постановке задачи формулируется цель решения и подробно описывается ее содержание. В постановке задачи должны быть ответы, по крайней мере, на такие вопросы: что дано; что необходимо найти; методологическое обоснование целевой функции – какой показатель является критериальным; методологическое обоснование набора ограничений; какие данные должны быть подготовлены и каковы источники их информации.
В качестве иллюстративного примера рассмотрим процесс построения оптимизационной модели на примере следующей задачи.
Пример 8.1. Фабрика изготовляет два вида красок: для внутренних работ (В) и наружных работ (Н). Для производства красок используется два вида сырья И1, И2. Максимально возможные суточные запасы сырья составляют соответственно 6 т. и 8 т. Нормативные расходы сырья при производстве красок приведены в таблице.
Таблица8.1. Нормативы расхода сырья на 1 т краски (данные примера 8.1.)
Сырье
Краска
Н
В
И1
1
2
И2
2
1
Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску В никогда не превышает спроса на краску Н более, чем на 1т. Установлено, что спрос на краску В никогда не превышает 5т в сутки. Оптовые цены одной тонны краски Н – 3 тыс.у.е., краски В – 2 тыс.у.е.. Какое количество краски каждого вида должна производить фабрика, чтобы выручка от реализации была максимальной.
В формулировке примера автоматически заложена методологическая база экономической задачи. Из примера следует, что ограничениями производственной программы предприятия выступают запасы сырья И1, И2, и спрос на краски (В) и (Н), при этом в качестве критерия оптимизации закладывается выручка от реализации. В реальных условиях ограничениями могут выступать и другие ресурсы: финансовые, трудовые, основные фонды, площади и т.д.; в качестве целевой функции могут использоваться и другие показатели: валовая прибыль, маржинальная, материалоемкость производства.
Формализованное описание оптимизационной модели, как правило, представляется следующей последовательностью шагов.
Шаг 1. На этом шаге выясняем - для определения каких величин должна быть построена модель, т.е. определяются переменные модели. В примере 8.1 необходимо найти суточные объемы производства краски для наружных работ (x1) и краски для внутренних работ (x2) – эти показатели и являются переменными модели.
Шаг 2. Формализовано описываем ограничения, которые должны быть наложены на переменные, чтобы выполнялись условия, характерные для моделируемой системы. В задаче о красках имеются четыре ограничения, которым должны быть подчинены переменные модели:
-суточный расход продукта И1 не должен превышать 6т
(8.25)
- суточный расход продукта И2 не должен превышать 8т
(8.26)
-суточное предложение красок для наружных и внутренних работ должно соответствовать суточному спросу:
(8.27)
(8.28)
-неявные ограничения, описывающие, что объем производства красок не может быть отрицательным
(8.29)
Шаг 3. Формальное описание критерия выбора наилучшего варианта. В данной задаче максимизируется суточная выручка от реализации красок для наружных и внутренних работ соответственно в объемах ( ) и ( ):
(8.30)
Модель (8.25) –(8.30) представляет собой оптимизационную модель для решения задачи примера 8.1.
С целью более осмысленного построения модели приведем более подробную экономическую интерпретацию соотношений модели на примере соотношения (8.25). Построение и интерпретация других соотношений проводится аналогично.
Каждое слагаемое соотношения (8.25) имеет четкую экономическую интерпретацию: - это не что иное как произведение нормы расхода ресурса И1 для производства краски для наружных работ (1 т/т) на суточный объем производства краски для наружных работ (x1), что представляет расход ресурса И1 для производства суточного объема красок для наружных работ (в объеме x1), - эторасход ресурса И1 для производства суточного объема красок для внутренних работ (в объеме x2). Следовательно, сумма этих показателей, т.е. левая часть соотношения (8.25) – это суточный расход ресурса И1. В правой части соотношения указан суточный запас сырья И1 (6т). Вместе левая и правая части со знаком «£» читаются следующим образом: суточный расход сырья И1 не должен превышать его суточного запаса.
Вообще говоря, на практике выполнить формализованное описание модели гораздо сложнее, поскольку в условиях многономенклатурного производства приходится работать с большим количеством переменных, которое может исчисляться тысячами.
После формального описания модели реализуется этап подготовки исходной информации. В рамках этапа проводится сбор и обработка данных, которые присутствуют в формальном описании модели. Если же расчеты по оптимизационной модели выполняются на прогнозный период, то требуется весь массив входной информации прогнозировать.
Например, в нашем примере в качестве входной информации выступают нормы расхода ресурсов, суточный спрос на краски, суточные запасы ресурсов, цены на краски. Можно предположить при условии отсутствия технологических изменений, что нормы расхода ресурсов И1, И2 для производства краски останутся на уровне отчетного периода. Что касается суточного спроса на краски, суточных запасов ресурсов и цен, то, учитывая подвижность этих показателей в зависимости от динамики экономической конъюнктуры, на прогнозный период эти величины требуют обоснования. Это могут быть экспертные оценки, или использование трендовых моделей, или факторных моделей.
Обоснование способа решения модели и поиск решения. На данном этапе осуществляется поиск оптимального решения. В зависимости от структуры оптимизационной модели используются различные методы математического программирования. Например, модель (8.25)-(8.30) представляет задачу линейного программирования, решение которой может быть выполнено с помощью симплекс-метода или графическим методом. Компьютерные технологии позволяют осуществлять решение модели с использованием пакетов прикладных программ, не углубляясь в математические тонкости нахождения оптимального решения. Выполним решение модели с помощью команды Поиск решения в системе Excel.
Решение задачи линейного программирования в Excel производится с помощью решающего блока Solver, вызываемого командой меню Сервис (Данные) ─ Поиск решения.
Предварительно введем в таблицу Excel исходные данные задачи в виде матрицы задачи:
Рис.8.2 Матрица задачи.
Будем предполагать, что переменные модели (x1; x2) находятся соответственно в ячейках В2-С2. В ячейку D4 вводим левую часть первого ограничения, используя встроенную функцию СУММПРОИЗВ и фиксируя ячейки значения переменных (знаком $), затем вытягиваем ее по столбцу до ячейки D8:
Рис.8.3 Ввод формул по данным задачи.
Заметим, что ограничения на переменные введем позже в диалоговом окне Поиск решения.
Диалоговое окно ввода данных представлено на рис. 8.4.
Рис.8.4 Подготовка данных для активизации инструмента Поиск решения.
Далее вызываем команду Поиск решения из меню Данные (Сервис), щелкнув М1 (М1-левая кнопка мыши) последовательно по их названиям (рис.8.5). На экране – диалоговое окно Поиск решения.
В поле Оптимизировать (Установить) целевую функцию (ячейку) занесем адрес-название ячейки $D$8. После слова До: (Равной) выделяем Максимум (Максимальное значение), т.к. целевая функция в данном случае - максимум выручки от реализации. В поле Изменяя ячейки переменных: занесем диапазон переменных модели $B$2:$C$2, т.к. именно эти ячейки отведены под значения вычисляемых переменных, щелкнув М1 по красной стрелке в этом поле. Далее занесем ограничения задачи в поле В соответствии с ограничениями (Ограничения): для чего щелкнем М1 по кнопке Добавить. На экране диалоговое окно Добавление ограничения. В поле Ссылка на ячейки заносим диапазон ячеек $D$4:$D$7, где располагается левая часть первых ограничений, в среднее поле занесем , выделив его в открывшемся окне. В правое поле занесем правые части ограничений – диапазон ячеек $F$4:$F$7.
Рис.8.6. Диалоговое окно добавления ограничения.
Так как все условия задачи введены, щелкнем М1 по ОК. На экране - диалоговое окно Поиск решения (рис.8.7).
Выбираем метод решения как поиск решения линейных задач симплекс-методом и щелкнем М1 по кнопке Найти решение (Выполнить). Решение найдено и остается заказать отчеты: Результаты и Устойчивость; а затем нажать ОК.
На экране в ячейках $В$2-$С$2 полученные результаты решения (рис. 8.9):
Рис. 8.9 Результат применения инструмента.
Рис. 8.10 Результат применения инструмента (тип отчета - результаты).
Аналогичное решение получим в ППП Mathlab:
После загрузки Mathlab создаем m-файл: Faile → New → m-Faile.
Для решения задач линейного программирования в ППП Mathlab служит функция linprog(). Для ее использования нужно записать задачу в следующей форме:
Чтобы вывести на экран решение x задачи и значение целевой функции Z необходимо записать
[x,Z]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub).
Для задачи примера 8.1 условия задачи могут быть представлены в следующей форме c=(3, 2), , , Матрицы Aeq, beq не заданы.
Напомним, что в Matlab матрицы набираются построчно. Элементы строк разделяются пробелами или запятыми, а строки разделяются точкой с запятой.
Так матрица A в нотации Matlab будет представлена в виде A=[1 2; 2 1; -1 1]. Для формирования матрицы lb воспользуемся функцией zeros(m, n), которая создает нулевую матрицу размеров m´n. Заметим, что при отсутствии некоторого аргумента у функции linprog(), он заменяется символом пустого массива – []. Для вывода решения задачи в виде рациональной дроби можно использовать конструкцию format rational.
Приведем программу для решения данной задачи.
A=[1 2; 2 1; -1 1];
B=[6; 8; 1];
lb=zeros(2,1);
ub=[5 inf];
с=[3 2];
[x,Zval]=linprog(-с,A,B,[],[],lb,ub)
format rational
x
fmax=-Zval
В результате выполнения программы получим:
Optimization terminated.
x =
3.3333
1.3333
Zval =
–12.6667
x =
10/3
4/3
fmax =
38/3
Итак, математическое решение модели задачи примера 8.1. следующее: , , .
Экономический анализ решения. Решение показывает, что при указанных суточных запасах ресурсов и суточном спросе оптимальная производственная программа предполагает суточный объем производства краски для внутренних работ в объеме 4/3 т, для наружных работ – 10/3 т.; общий объем производства составляет 14/3 т. При этом выручка от реализации составит 38/3 тыс.у.е. При этом суточные запасы сырья вида И1 и И2 будут израсходованы полностью (первое и второе ограничения). Любая другая производственная программа в указанных условиях позволит получать выручку от реализации не выше рассчитанной. В этом состоит сущность оптимального решения. Чтобы более ярко представить экономическую суть полученного решения, проведем сравнение оптимального плана с полученным экспертно. Количественная оценка наилучшего плана может обосновываться следующими соображениями: предприятие производит максимально возможный объем (в рамках имеющихся запасов ресурсов) дорогостоящей краски Н (4т), тогда краска В не производится, общий объем производства краски 4т, выручка от реализации в этом случае составит 12 тыс.у.е. Сравнение оптимальной и экспертно полученной выручки показывает превышение первой на 2/3 тыс.у.е. и превышение объема на 2/3 т. Сравнение решений показывает, что дополнительная выручка в оптимальном плане была получена за счет прироста производства в результате полного использования материальных ресурсов (в экспертном варианте материальные ресурсы использовались частично). Следовательно, в оптимизационной модели эффект достигается без дополнительных затрат – только за счет рационального использования имеющихся ресурсов.
При практическом использовании оптимизационной модели необходимо иметь представление о сложностях, с которыми может столкнуться пользователь модели. Основная сложность состоит в неустойчивости оптимального решения: оптимальное решение востребовано только в том случае, если достоверно известна входная информация модели. Дело в том, что небольшие изменения входной информации способны привести к значительным изменениям оптимального решения.
Например, если в примере 8.1 неправильно был спрогнозирован суточный запас ресурсов и запас ресурса И1 составил не 6т, а 5,5т; а запас ресурса И2 не 8т, а 8,5т; то в этом случае оптимизационная модель приняла бы вид:
(8.31)
Решение модели составит x1=0,8т, x2=3,8т. Если в исходной задаче оптимальная структура производственной программы предполагала, что 72% суточного выпуска составляет краска для наружных работ и 28% - для внутренних, то при небольшом изменении входных параметров оптимальная структура производства существенно изменяется: теперь оптимальная структура предполагает, что 83% суточного выпуска приходится на краску для наружных работ и 17% - для внутренних.
Устойчивость оптимального решения может быть определена в рамках анализа модели на устойчивость. С этой целью рассчитываются двойственные оценки, которые являются решением двойственной задачи (более подробно см. 8.1). Двойственная оценка yi является характеристикой i-го ресурса и показывает изменение критериального показателя при изменении запаса ресурса на единицу. Иными словами, двойственная оценка yi –это цена i-го ресурса, определяемая по степени вклада ресурса в формирование критериального показателя. Команда Поиск решения имеет функцию анализа модели на устойчивость, в рамках которой рассчитываются двойственные оценки. Для нашего примера 8.1 отчет по устойчивости принимает следующий вид:
Рис. 8.11 Результат применения инструмента (тип отчета - устойчивость).
В нашем примере y 1=1/3, y 2 =4/3, y 3 =0, y 4 =0 (столбец теневая цена - рис.8.11.) Характеристикой (двойственной оценкой) ресурса И1 выступает y 1; y 2 - характеризует ресурс И2, двойственные оценки y 3, y 4 являются характеристиками спроса. Из экономического смысла двойственных оценок ясно, что увеличение запаса первого ресурса И1 на одну тонну приведет к увеличению выручки от реализации на 1/3 тыс.у.е., что может быть достигнуто за счет изменения оптимальной производственной программы и перераспределения ресурсов. Увеличение запаса сырья И2 на одну тонну позволит посредством изменения оптимальной программы получить дополнительно выручки 4/3 тыс.у.е. В то же время изменение (например увеличение) спроса на краску для наружных работ на одну единицу при имеющихся запасах И1 (6т) и И2 (8т) не повлияет на выручку от реализации и, следовательно, производственную программу. Однако следует отметить, что изложенные выше рассуждения имеют место, если изменения запасов сырья и суточного спроса будут увеличиваться или уменьшаться в определенных пределах: так например запас ресурса И1 в интервале (6-2; 6+3) или от 4т до 9т (рис.8.11. - таблица «Ограничения», столбцы – «Допустимое увеличение и допустимое уменьшение»); запас ресурса И2 в интервале (8-3; 8+2,5) или от 5т до 10,5т; а спрос на краску для внутренних работ может находиться в пределах от 10\3т и до бесконечности (при этом производство не превысит 10\3т). Пока запасы ресурсов (правые части ограничений) изменяются в данных пределах, двойственные оценки (теневые цены) остаются неизменными. Ссылаться на выше перечисленные свойства и изменения можно лишь тогда, когда изменению подвергается только одна из правых частей ограничений, а остальные остаются неизменными.
Кроме всего выше сказанного, можно определить в каких интервалах может находиться цена за 1 тонну готовой продукции, с тем, чтобы ее было выгодно производить. Так, по первому виду красок для внутренних работ цена может быть установлена в пределах от 1 тыс.у.е. до 4 тыс.у.е (рис.8.11. - таблица «Ячейки переменных», столбцы – «Допустимое увеличение и допустимое уменьшение»), и это при неизменной цене на краску для наружных работ. По краске для наружных работ - от 1,5 тыс.у.е до 6 тыс.у.е. при аналогичных условиях относительно цены краски для внутренних работ. Данное изменение не повлияет на оптимальное решение производственной программы, однако приведет к изменению значения целевой функции (т.к. ценовая политика будет меняться), вместе с ней изменению подвергнутся и теневые цены на ресурсы. Если предприятие будет придерживаться данной ценовой политики, то и в дальнейшем ему будет целесообразно производить эти виды продукции в таких объемах при неизменном количестве запасов ресурсов.
Таким образом, из анализа данной модели на устойчивость можно сделать два основных вывода:
1. Оптимальная производственная программа не будет изменяться при дальнейшем увеличении спроса и неизменных запасах ресурсов И1, И2.
2. Наиболее дефицитным ресурсом, сдерживающим рост производства и, следовательно, увеличение выручки от реализации, выступает ресурс И2, поэтому наиболее эффективным является увеличение запаса именно этого ресурса.
2019-10-11
412
Обсуждений (0)
(8.25)
(8.26)
(8.27)
(8.28)
(8.29)
) и ( 
):
(8.30)
- это не что иное как произведение нормы расхода ресурса И1 для производства краски для наружных работ (1 т/т) на суточный объем производства краски для наружных работ (x1), что представляет расход ресурса И1 для производства суточного объема красок для наружных работ (в объеме x1), 
- эторасход ресурса И1 для производства суточного объема красок для внутренних работ (в объеме x2). Следовательно, сумма этих показателей, т.е. левая часть соотношения (8.25) – это суточный расход ресурса И1. В правой части соотношения указан суточный запас сырья И1 (6т). Вместе левая и правая части со знаком «£» читаются следующим образом: суточный расход сырья И1 не должен превышать его суточного запаса.
, выделив его в открывшемся окне. В правое поле занесем правые части ограничений – диапазон ячеек $F$4:$F$7.
, 
, 
Матрицы Aeq, beq не заданы. 
, 
, 
. 
(8.31)
