Разработка и использование моделей оптимизации на уровне предприятия

Модели оптимизации производственной программы. Производственная программа представляет собой систему плановых заданий по выпуску продукции установленной номенклатуры, ассортимента и качества, предназначенной для удовлетворения различных потребностей.

Производственная программа является результатом согласования следующих целей фирмы:

1. получение максимальной прибыли;

2. учет реальных финансовых и иных ресурсных возможностей;

3. полное удовлетворение потребностей рынка сбыта;

4. максимальное снижение производственных издержек, в том числе и максимально возможная загрузка оборудования.

На основании производственной программы формируются другие разделы комплексного плана предприятия, разрабатываемые в рамках бюджетирования (бюджет потребностей в материалах, бюджет закупок, бюджет прямых затрат на оплату труда, бюджет прибылей и убытков и др.).

Работа по составлению производственной программы имеет свои особенности для разных типов производства. Для единичного и мелкосерийного производства производственная программа разрабатывается на основе графика изготовления изделий в соответствии с утвержденными сроками сдачи продукции потребителям. Календарный график запуска-выпуска изделий разрабатывается в порядке, обратном ходу технологического процесса, на основе длительности производственного цикла по всем видам работ (испытание, сборка, механическая обработка, подача заготовок).

Для серийного производства планирование выпуска продукции на протяжении года производится с учетом незавершенного производства на всех стадиях производственного процесса и изменения номенклатуры запускаемых в производство изделий.

Массовое производство осуществляется обычно поточным методом, и в связи с этим производственная программа разрабатывается одновременно по предприятию и всем основным цехам, с разбивкой по кварталам и месяцам.

Несмотря на то, что по определенным видам продукции сроки изготовления (сдачи) устанавливаются по договорам с заказчиком, предприятие имеет возможность разрабатывать различные стратегии в части формирования производственной программы выпуска продукции во времени в целях достижения полной и равномерной загрузки оборудования и рабочих мест и т.п. Число вариантов распределения (комбинации) выпуска изделий при любом типе производства может быть значительным. Наиболее целесообразные варианты можно получить путем использования методов программирования.

В общем виде базовая модель оптимизации производственной программы формулируется следующим образом. Предприятие выпускает несколько видов продукции , обладая при этом ограниченными запасами ресурсов . Известны нормы затрат a_ij ресурса i на производство единицы продукции j . Требуется найти структуру производства продукции, на которой обеспечивается максимум эффекта от выпуска (максимум выручки от реализации, минимум затрат). Если p_j обозначить эффективность единицы продукции j (в нашем случае цена), то модель в общем виде запишется:

максимизируется выручка от реализации

                                                                           (8.32)

при ограничениях на запас i -го ресурса

 ( ),                                                                (8.33)

и неотрицательности переменных

 ( )                                                                        (8.34)

В качестве критерия на максимум может выступать необязательно выручка от реализации, но и валовая прибыль, маржинальная прибыль, показатель качества выпускаемой продукции и другие - выбор критерия зависит от прорабатываемой стратегии предприятия.

Отметим, что приведенный выше пример 8.1 представляет собой задачу оптимизации производственной программы предприятия, которое относится к сфере материального производства. Аналогично может быть сформулирована задача и в сфере услуг – это относится к предприятиям, предоставляющим несколько видов услуг. В этом случае в качестве ограничений выступают преимущественно трудовые, финансовые ресурсы, а также производственные мощности.

Модификация 1- с учетом ограничения на спрос. Обычно производственная программа формируется с учетом результатов изучения конъюнктуры рынка и сбыта продукции. Поэтому базовая модель дополняется ограничениями на спрос продукции j-го вида, который может быть задан интервально в виде нижней и верхней границ спроса (соответственно d_{j ,,} D_j ), то в модель дополнительно вводится ограничение: .

Модификация 2 – на минимум затрат. Заметим, что в модель (8.32)-(8.34) введен критериальный показатель на максимум эффекта. Однако при обосновании стратегий предприятия прорабатываются и варианты на минимум эффекта, в частности минимум себестоимости производства, минимум затрат материальных ресурсов, минимум затрат времени. Пусть c_j – себестоимость единицы продукции j -го вида. Тогда в модели задачи на минимум себестоимости производства в отличие от модели (3.32)-(8.34) критерий оптимальности перепишется в виде:

 

при неизменных ограничениях (8.33)-(8.34).

Очевидно, что в такой формулировке оптимальное решение модели x_j=0,  

Такое математически правильное решение с экономической точки зрения абсурдно, т.к. представляет собой план бездеятельности или план максимальной экономии ресурсов, в соответствии с которым ничего не производится и все ресурсы остаются неиспользованными. Чтобы значение критерия оптимальности не скатывалось до нуля, решение необходимо ограничить снизу, например, ввести ограничения на спрос снизу ( ). Однако и в данной формулировке модель может терять смысл, т.к. оптимальный план известен ( ). Решение задачи на минимум затрат имеет смысл, если ввести ограничения на объемы производства с меньшей степенью подробности. Например, с целью обеспечения финансовой устойчивости предприятия должен быть выполнен в целом целевой показатель по выручке от реализации (P):

   

где p_j  - ценаединицы продукции j-го вида.

Пример 8.2. Предприятие выпускает два вида изделий и располагает следующими ресурсами (в расчете на одни сутки): фонд рабочего времени производственных рабочих – 660 чел.-час., суточный фонд древесины - 47 куб.м, стекла – 45 кв.м. Нормы расхода ресурсов в расчете на одно изделие представлены в следующей таблице:

Таблица 8.2. Нормы расхода ресурсов (пример 8.2.)

Ресурсы	Единица измерения	Изделия
		1вида	II вида
Рабочее время	Чел-час.	6	10
Древесина	Куб.м.	0,5	0,3
Стекло	Кв.м.	-	1,5

Цена изделия I вида – 20 у.е., изделия II вида – 25 у.е.

В силу ограничения энергоресурсов на предприятии проводится политика энергосбережения. Требуется оценить оптимальную производственную программу исходя из требования минимизации расхода энергетических ресурсов, имея ввиду, что для производства одного изделия 1 вида требуется 0,5 квт.-час., для производства одного изделия II вида требуется 0,8 квт.-час. Известно также, что для устойчивости финансового положения предприятия суточная выручка от реализации не должна быть меньше 2000 у.е.

Решение. В результате формального описания получаем модель вида:

                                                                               (8.35)

После решения задачи на ПЭВМ получено оптимальное решение ( )=(88, 10), и соответствующее ему значение функционала =52. Таким образом, для достижения минимального расхода энергоресурсов в рамках заданных ограничений на материальные и трудовые ресурсы, и необходимости достижения, как минимум, целевого показателя объема производства в стоимостном выражении (2000 у.е.), требуется суточный объем производства продукции первого вида в объеме 88 единиц, второго – 10 единиц, при этом суточный расход электроэнергии составит 52 квт-час, а суточная выручка от реализации 2010 у.е. (20×88+25×10).

Модификация 3 - модель задачи на максимум загрузки невзаимозаменяемого оборудования. Если в задаче оптимизации производственной программы в качестве ресурсов выступает оборудование, например, фрезерное, токарное, сверлильное, тогда ограничения описывают фонды времени работы оборудования соответствующего вида, измеряемое в станко-часах. В такой постановке задача (8.32)-(8.34) становится задачей загрузки невзаимозаменяемого оборудования. В задаче загрузки невзаимозаменяемого оборудования возможно использование различных критериев, в т.ч. и рассмотренных ранее. Основное отличие данной задачи от задачи оптимизации производственной программы заключается в истолковании b_i – фонд рабочего времени i–го вида оборудования, a_ij - норма времениобработки j–го вида продукции на i-м оборудовании. Поскольку переменные представлены в станко-часах, то величина ( ) – есть не что иное, как неиспользованный остаток полезного фонда времени работы i -го оборудования. В этих обозначениях модель на максимум загрузки оборудования запишется:

минимум неиспользованного остатка полезного фонда времени работы оборудования

                                                                        (8.36)

при ограничениях на фонды времени работы оборудования

,                                                        (8.37)

и неотрицательности переменных

                                                   (8.38)

Пример 8.3. Предприятие выпускает два вида изделий и располагает суточными фондами рабочего времени токарного оборудования - 660 станко-час., фрезерного оборудования – 780 станко-час. Нормы расхода оборудования в расчете на одно изделие представлены в следующей таблице:

Таблица 8.3. Нормы расхода оборудования (пример 8.3.)

Ресурсы	Единица измерения	Изделия
		I вида	II вида
Токарное оборудование	станко-час.	6	3
Фрезерное оборудование	станко-час.	4	5

Требуется составить модель для определения оптимальной производственной программы предприятия, обеспечивающей предприятию максимальную загрузку имеющегося оборудования. На основе модели найти оптимальную производственную программу.

Решение. Задача в такой постановке представляет собой задачу на максимум загрузки промышленного оборудования. Определим переменные модели, ориентируясь на показатели, которые необходимо найти. В задаче требуется построить модель для нахождения оптимальной структуры производственной программы по выпуску изделий первого, второго видов. Поэтому введем переменные: - суточный объем производства продукции I вида, - суточный объем производства продукции II вида. В этих обозначениях является очевидным, что - это суточный фонд времени работы токарного оборудования, а  - суточный фонд времени работы фрезерного оборудования. Тогда становится понятным экономический смысл показателя: , который выражает остаток полезного фонда времени токарного оборудования; соответственно: - остаток полезного фонда времени фрезерного оборудования.

 С учетом введенных переменных формализовано опишем ограничения модели:

ограничение на использование рабочего времени токарного оборудования:

ограничение на использование рабочего времени фрезерного оборудования:

неявные ограничения на переменные:

,

целевая функция, описывающая минимум остатка полезного времени оборудования:

.

После решения задачи с помощью ППП, получаем:

Таким образом, оптимальная производственная программа предполагает производство продукции первого вида 54 единицы, второго- 112 единиц, при этом загрузка токарного оборудования является полной, а остаток полезного времени фрезерного оборудования – 4 станко-час.

Модификация 4 - модель задачи оптимального распределения продукции по единицам оборудования.Данная задача от предыдущей модификации отличается тем, что  видов оборудования являются взаимозаменяемыми. Для формального описания модели введем переменную - объем производства продукции j-го вида на i-м оборудовании. В этих обозначениях модель запишется в виде:

минимум неиспользованного остатка полезного фонда времени работы оборудования

                                                                          (8.39)

при ограничениях на фонды времени работы оборудования

,                                                    (8.40)

и неотрицательности переменных

                                                   (8.41)

Пример 8.4. Предприятие выпускает два вида изделий на двух типах взаимозаменяемого оборудования с суточными фондами рабочего времени оборудования первого вида - 660 станко-час., оборудования второго вида – 780 станко-час. Нормы расхода оборудования в расчете на одно изделие представлены в следующей таблице:

Таблица 8.4. Нормы расхода оборудования (пример 8.4)

Ресурсы	Единица измерения	Изделия
		I вида	II вида
Оборудование I типа	станко-час.	6	3
Оборудование II типа	станко-час.	4	5

Требуется составить модель для определения оптимальной производственной программы предприятия, обеспечивающей предприятию максимальную загрузку имеющегося оборудования. На основе модели найти оптимальную производственную программу.

Решение. Для формального описания модели определим ее переменные: - суточный объем производства продукции I вида на оборудовании I типа, - суточный объем производства продукции II вида на оборудовании I типа, - суточный объем производства продукции II вида на оборудовании I типа, - суточный объем производства продукции II вида на оборудовании II типа. В этих обозначениях модель запишется в виде:

минимум остатка полезного времени оборудования

при ограничениях на фонд рабочего времени оборудования I типа:

ограничение на использование рабочего времени оборудования II типа:

неявные ограничения на переменные:

,

После решения задачи с помощью ППП, получаем: , . , ,

Таким образом, оптимальная производственная программа при условии взаимозаменяемости оборудования I и II типов предполагает производство продукции первого вида 163 единицы (88+75), второго - 140 единиц (44+96), при этом загрузка всех видов оборудования является  полной.

Оптимизационные модели могут быть использованы на предприятии при решении технологических задач, наиболее распространенной из которых является задача рационального раскроя материала. Большинство материалов, используемых в промышленности, поступает на производство в виде стандартных форм. Непосредственное использование таких материалов, как правило, невозможно. Предварительно их разделяют на заготовки необходимых размеров. Это можно сделать, используя различные способы раскроя материала.

Задача оптимального раскроя состоит в том, чтобы выбрать один или несколько способов раскроя материала и определить, какое количество материала следует раскраивать, применяя каждый из выбранных способов. Задачи такого типа возникают в металлургии и машиностроении, лесной, лесообрабатывающей, легкой промышленности. Благодаря работам в области оптимального раскроя основоположника теории линейного программирования лауреата Нобелевской премии академика Л.В. Канторовича задачу оптимального раскроя можно назвать классической прикладной оптимизационной задачей.

В общем виде модель такой задачи строится следующим образом. Предположим, что из листов материала необходимо выкроить   разновидностей заготовок, причем заготовок i -го вида должно быть получено b_i штук. В соответствии с технологией имеется  различных способов раскроя, причем известны величины a_ij - количество выкраиваемых заготовок i-го вида по j -му способу. Требуется так раскроить материал, чтобы выполнить задание и израсходовать минимальное количество листов проката.

Для формального описания модели введем переменные x_j - количество исходного материала, которое следует раскраивать по j-му способу.

Формально модель записывается следующим образом:

Минимум расхода листов материала

                                                                (8.42)

при ограничениях на количество заготовок каждого вида

                                                 (8.43)

неотрицательности и целочисленности переменных

                                                (8.44)

Модель (8.42) - (8.44) представляет модель раскроя с минимальным расходом материалов.

На практике приходится вести раскрой как листового, так и рулонного материала. В последнем случае каждый вариант раскроя характеризуется наличием остатков: c_j - величина отходов при использовании j -го способа раскроя. В этом случае в модели модифицируется критерий оптимальности, который формулируется как минимум отходов и формально записывается в виде:

                                                                    (8.42¢)

В этом случае модель (8.42¢)-(8.43)-(8.44) представляет модель раскроя с минимальными отходами.

Вообще говоря, построению модели задачи рационального раскроя материалов предшествует работа по установлению различных возможных способов раскроя материалов. Обычно число этих способов весьма велико, причем некоторые способы дают настолько большой отход, что почти наверняка в оптимальный план не войдут. Поскольку количеством включенных в модель способов непосредственно определяется размер матрицы задачи и число переменных, то целесообразно заранее исключать из рассмотрения явно нерациональные способы. Однако количество остающихся способов должно быть достаточно большим, во всяком случае по сравнению с числом разновидностей заготовок.

Примером технологической задачи рационального раскроя материаловможет служить следующая проблема.

Пример 8.5. Из листов проката размером 5´10 кв.м. необходимо выкроить заготовки типа А размером 2´3 кв.м. и типа В размером 4´5 кв.м. Для производства необходимы не менее 200 ед. заготовок А и 100 ед. заготовок В. Предполагается использовать четыре способа раскроя листов проката, технологические характеристики которых представлены в таблице.

Таблица 8.5. Используемые способы раскроя и соответствующее им число заготовок

Титы заготовок	Способ раскроя
	I	II	III	IV
А	8	0	5	1
В	0	2	1	2

 

Определить какое количество листов материала необходимо раскроить по каждому способу раскроя, израсходовав минимальное количество исходных листов проката.

Решение. В соответствии с методикой построения оптимизационной модели в качестве переменных модели выбираем искомые показатели в задаче: количество исходных листов материала, раскраиваемых по каждому способу x_j. С учетом этих переменных формальное описание модели запишется следующим образом:

Минимум израсходованных по всем способам раскроя листов материала

При ограничении на количество заготовок типа А и типа В

Число листов материала по каждому способу раскроя неотрицательное и целочисленное

После решения задачи с помощью ППП, получаем:  Таким образом, выполнение задания относительно заготовок А и В при реализации цели – минимум расхода листов проката, достигается при использовании 67 листов исходных листов проката, при этом 1 лист раскраивается по первому способу, 32 листа по третьему способу, 34 листа по четвертому способу. Нетрудно посчитать, что заготовок типа А будет произведено на две больше ( ), чем требуется в соответствии с заданием (т.н. вынужденные остатки).

К технологическим задачам относятся задачи на оптимальное составление смесей и соединений. В ряде производств готовая продукция получается путем смешивания различных исходных компонентов. Обычно исходные компоненты смесей в той или иной мере взаимозаменяемы и важно только обеспечить, чтобы готовый продукт отвечал необходимым требованиям по своему качеству. Модель для данной задачи позволяет найти набор компонентов смеси, при котором продукция заданного качества получается с минимальными затратами. Данный класс задач часто используется в сельском хозяйстве для оптимизации кормовых рационов кормления животных и в отраслях промышленности для оптимизации структуры смеси при производстве готового продукта.

Примером технологической задачи на составление смесей может служить следующая проблема.

Формально задача формулируется следующим образом. Для производства продукта могут быть использованы  исходных компонентов. Состав продукта определяется содержанием в нем  элементов, причем  готовый продукт должен иметь строго определенную структуру содержания элементов j-го элемента в готовом продукте с долей H_j . Известны величины: h_ij  -доля j-го элемента в i-м исходном компоненте, p_i  - цена i-го компонента. Требуется подобрать наиболее дешевый состав смеси из исходных компонент, обеспечивающий получение готового продукта заданного качества.

Для формального описания модели введем переменную x_i - доля i -го исходного компонента в составе смеси.

В этих обозначениях модель записывается следующим образом:

минимум затрат на производство продукции

                                                                                         (8.45)

при выполнении качественных характеристик состава продукции

 -сумма долей различных шихтовых материалов равнялась 1

                                                                                   (8.46)

 - при соблюдении заданного химического состава чугунного литья

                                                                                 (8.47)

 - величина долей исходных материалов в составе шихты неотрицательна

,                                                                                 (8.48)

Ограничения не обязательно должны иметь форму равенств: для химических элементов, ухудшающих качество материала, ограничения целесообразно задавать в виде неравенства типа «меньше или равно».

Пример 8.6. Для получения сплава используются три вида сырья S₁, S₂, S₃ содержащего никель, железо, марганец, прочие вещества. В сплав может входить не менее 4% никеля, не более 75% железа, 20% марганца. Цена одной тонны сырья составляет соответственно 100 у.е., 50 у.е., 70 у.е. В таблице приведен состав каждого вида сырья

Таблица 8.6. Содержание компонентов сырья (%) (пример 8.6.)

Компоненты сплава	Вид сырья
	S1	S2	S3
Железо	40	70	80
Никель	4	3	6
Марганец	20	10	8
Прочие	36	17	6

Определить оптимальный состав шихты, для которого стоимость сплава будет минимальной.

Решение. Введем обозначения: x_i - доля i-го исходного сырья (S_i) в составе сплава. В этих обозначениях ограничительные условия задачи запишутся следующим образом:

содержание никеля в сплаве должно быть не менее 4%:

содержание железа в сплаве должно быть не более 75%:

содержание марганца в сплаве должно быть 20%:

структура сплава формируется из трех видов сырья:

показатели структуры не могут быть отрицательными:

.

Целевая функция характеризует, что структура сплава должна иметь минимальную стоимость:

После решения задачи на ПЭВМ получаем оптимальное решение задачи: x₁=1, x₂=0, x₃=0, что означает что сплав с заданными технологическими характеристиками предполагается получить только из сырья S₁.

 

В целях конкретизации производственного плана во времени на предприятии разрабатываются календарные планы, в рамках которых решается задача ритмичного выпуска продукции, минимизация запасов и незавершенного производства. Одной из задач календарного планирования является задача выравнивания графика производства во времени  при неравномерной потребности в производимой продукции. На предприятиях с большой номенклатурой выпускаемой продукции (особенно при мелкосерийном характере производства) неритмичная работа наблюдается гораздо чаще, чем на предприятиях однородного массового производства. В условиях неоднократно меняющегося на протяжении года состава выпускаемой продукции подразделения предприятия не имеют стабильных календарных программ. Это часто требует хаотичной перенастройки оборудования с выпуска одного вида продукции на другой, что приводит к увеличению временных и финансовых затрат на производство продукции и в конечном счете к снижению фондоотдачи. Решением проблемы является разработка для подразделений четких календарных графиков, предусматривающих обеспечение максимально возможной стабильности графиков во времени. Для решения проблемы может быть использована оптимизационная модель задачи выравнивания графика производства.

Заметим, что график потребности не должен отождествляться с графиком производства. При выпуске одного вида продукции связь объема его производства и спроса  в каждый период времени t определяется на основе следующего балансового уравнения:

,

где - запасы вида продукции на конец периодов соответственно .

В условиях многономенклатурного производства и постоянно меняющегося спроса на виды выпускаемой продукции, последний может колебаться от декады к декаде, а график производства должен быть по возможности равномерным.

Сущность задачи заключается в следующем. Для каждого планируемого отрезка времени (например, декада) известна потребность в данной продукции . Требуется найти в каждый период времени t выпуск продукции, обеспечивающий минимум как колебания графика его выпуска , так и остатков продукции .

Исходя из постановки задачи неизвестными являются выпуск деталей за каждую декаду , а также запас изготовленных деталей на конец декады (задан лишь начальный запас ).

Приведем формальное описание модели через эти переменные.

Очевидно, что в каждый момент времени t связь объема производства , спроса и остатков  определяется на основе балансового тождества:

 или .

Также, одним из условий задачи является равномерность составляемого графика производства. Поэтому важное значение имеет разница в выпуске деталей за каждые две последовательные декады: - чем меньше эта разница по абсолютной величине, тем стабильнее график выпуска. Удобно разницу представить как разность двух других неизвестных : . Если производство в ( t +1)-м периоде возросло по сравнению t-м периодом, то  будет иметь положительную величину, а  - равняться нулю. Если, наоборот, производство уменьшилось, то положительным становится , а =0. Следовательно, условие равномерности имеет вид:

, .

В простейшем случае, когда неравномерность графика и увеличение запасов считаются одинаково нежелательными, целевая функция экономико-математической модели имеет вид: .

В общем виде оптимизационная модель задачи выравнивания графика производства имеет вид:

при ограничениях

, ,

, ,

.

Модель по своей математической форме относится к задаче линейного программирования и может решаться стандартными ППП.

Пример 8.7. Требуется составить на 1 квартал года подекадный график производства детали 005, входящей в изделия четырех видов, график выпуска которой представлен в табл. В таблице также отражены количество деталей на единицу изделий и сроки опережения.

Таблица 8.7. Исходные данные задачи

изделия	Объемы выпуска изделий												Кол-во на един.	Опе реже ние в декад
	январь			февраль			март			апрель
	1-10	11-20	21-31	1-10	11-20	21-28	1-10	11-20	21-31	1-10	11-20	21-30
А Б В Г	200 - - 50	200 - - 50	200 - - -	200 - - 50	200 100 - 50	-100 - -	- 20 500 50	- 20 500 50	- 20 500 -	400 - 500 50	400 - 500 50	400 - 500 -	1 2 1 3	1 4 3 2

Решение. Рассчитаем график подекадной потребности в деталях 005. Например, изделие Б начинает выпускаться со второй декады февраля в количестве 100 шт. Выпуск детали 005 для этого и