Пределы последовательностей и функций
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по высшей математике
1. Пределы последовательностей и функций. 2 2. Производная и дифференциал. 3 3 Геометрические изложения и дифференцированные исчисления (построение графиков) 4 4. Неопределенный интеграл. 7 5. Определенный интеграл. 9 6. Функции нескольких переменных, дифференцированных исчислений. 11 Литература. 12
Пределы последовательностей и функций Числовой последовательностью называется числовая функция, определенная на множестве натуральных чисел. Задать числовую последовательность означает задать закон, по которому можно определить значение любого члена последовательности, зная его порядковый номер п; для этого достаточно знать выражение общего или п-го члена последовательности в виде функции его номера: . В основе всех положений математического анализа лежит понятие предела числовой последовательности. Число А называется пределом числовой последовательности , если для любого сколь угодно малого положительного числа e существует такой номер , зависящий от выбранного e, начиная с которого все члены последовательности отличаются от А по модулю меньше, чем на e, т. е. при . Если последовательность имеет предел А, то она называется сходящейся (к числу А) и этот факт записывают следующим образом: . Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Выберем в некоторой окрестности этой точки какую-нибудь последовательность сходящуюся к точке : . Значения функции в выбранных точках образуют последовательность , и можно ставить вопрос о существовании предела этой последовательности. Число А называется пределом функции в точке , если для любой сходящейся к последовательности значений аргумента, отличных от , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А, т. е. . Возможно иное определение предела функции в точке: число А называется пределом функции при , если для всякого положительного числа e можно указать другое положительное число d (зависящее от выбора e) такое, что абсолютная величина разности будет меньше e, когда абсолютная величина разности будет меньше , но больше нуля , если при . Таким образом, первое определение предела функции основано на понятии предела числовой последовательности, и его называют определением на «языке последовательностей». Второе определение носит название «на языке ». Кроме понятия предела функции в точке, существует также понятие предела функции при стремлении аргумента к бесконечности: число А называется пределом функции при , если для любого числа существует такое число d, что при всех справедливо неравенство : . Теоремы о пределах функций являются базой для общих правил нахождения пределов функций. Можно показать, что арифметические операции над функциями, имеющими предел в точке , приводят к функциям, также имеющим предел в этой точке.
Примеры
Найти предел функции
Решение: Имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на общий множитель , который при не равен нулю. В результате неопределенность будет раскрыта.
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (189)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |