Функции нескольких переменных, дифференцированных исчислений
До сих пор рассматривались функции одной переменной х. В случае зависимости параметров какого-то процесса или явления от многих факторов вводится понятие функции нескольких переменных. Пусть каждому набору значений n переменных величин из множества M , называемых независимыми переменными, по какому-либо закону ставится в соответствие некоторое число z, называемое зависимой переменной. Тогда говорят, что задана функция нескольких переменных .
Приведем примеры функций нескольких переменных. 1. Функция вида , где – постоянные числа, называется линейной или гиперплоскостью -мерном пространстве. 2. Функция вида , где – постоянные числа, называется квадратичной формой от переменных . При рассмотрении функций в n-мерном пространстве широко используется геометрический язык, хотя буквальное понимание геометрических терминов возможно только при п = 2 и п = 3. Далее для наглядности будем рассматривать функции двух переменных ( ), хотя практически все понятия и теоремы, сформулированные для , переносятся на случай . Основные понятия математического анализа, введенные для функции одной переменной, переносятся на случай двух переменных. Так, число А называется пределом функции в точке , если для любого числа можно найти число такое, что для всех точек из d-окрестности точки М выполняется неравенство . Для обозначения предела функции в точке используется символика . Окрестностью точки называется круг, содержащий точку М. В случае функции двух переменных аргумент может стремиться к предельной точке по различным направлениям на плоскости, поэтому следует говорить о пределах функции в точке вдоль определенных линий. Функция называется непрерывной в точке , если предел функции в этой точке существует и равен значению функции в этой точке, т. е. . Геометрический смысл непрерывности функции при очевиден: график функции представляет собой в точке непрерывности сплошную поверхность в некоторой окрестности этой точки.
Пример. Найти экстремум функции двух переменных z = x2 + y2, x Î [-20, 20], y Î [-10, 10].
Решение. Необходимое условие экстремума = 2х = 0, = 2у = 0, откуда координаты стационарной точки (хст, уст) = (0, 0). Вторые производные А = = 2; В = = 0; С = = 2. Так как AC - B2 = 4 > 0, то в точке (0, 0) — локальный минимум. Значение функции в точке минимума z (0, 0) = 0.
Литература:
1. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. - М.: Джангар, 2000. - 864 с. 2. Гордон В.А., Шмаркова Л.И. Краткий курс математики / Учебное пособие. – Орёл: ОрёлГТУ, 2000. – 96 с. 3. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: М.: Наука, 1972.
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (183)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |