Геометрические изложения и дифференцированные исчисления (построение графиков)
Функция , определенная во всех точках промежутка , называется возрастающей (убывающей) в этом промежутке, если для любых двух значений аргумента, принадлежащих этому промежутку, большему из них соответствует большее (меньшее) значение функции, т. е, если то при – возрастающая, – убывающая. Из данного определения вытекает, что для возрастающей функции приращения аргумента и функции имеет один и тот же знак, в силу чего их отношение положительно: . Для убывающей функции эти приращения имеют разные знаки, в силу чего . Те значения аргумента, при которых функция достигает своих наибольших и наименьших по сравнению с близкими значений, называются точками максимума и минимума (точками экстремума). Точка называется точкой максимума (минимума) непрерывной функции , а значение называется максимумом (минимумом) этой функции, если существует некоторая окрестность точки такая, что значение функции в любой точке этой окрестности будет меньше (больше), чем ее значение в самой точке , т. е. меньше (больше), чем максимум (минимум) (рис. 1). у max у min f(х0) f(х0)
О х0– d х0 х0+ d х О х0– d х0 х0+ d х
Рис. 1 Из определений точек экстремума следует, что вне d-окрестности точки экстремума поведение функции произвольно, т. е. понятия максимума и минимума функции носят характер локальных (местных), а не абсолютных понятий. Чтобы установить признаки возрастания и убывания и признаки экстремума функций, рассмотрим ряд важных теорем математического анализа, на которые опираются все дальнейшие исследования функций. Рекомендуется исследование функций проводить в определенной последовательности. 1. Найти область определения функции; точки разрыва и их характер; вертикальные асимптоты графика. 2. Определить возможный тип симметрии функции (четность, нечетность функции); точки пересечения графика функции с осями координат, т. е. решить уравнения и . 3. Найти наклонные и горизонтальные асимптоты графика функции. 4. Использовать первую производную для определения области возрастания и убывания и экстремумов функции. 5. Использовать вторую производную для определения участков выпуклости и вогнутости графика и точек перегиба. 6. Построить график функции с учетом проведенного исследования. Пример. Провести полное исследование функции
Решение:
Проведем полное исследование функции, используя следующую схему:
1. найти область определения функции; 2. исследовать на четность и нечетность функцию; 3. найти точки разрыва функции; 4. найти асимптоты (вертикальные, наклонные и горизонтальные) графика функции; 5. найти точки пересечения графика функции с координатными осями; 6. исследовать функцию на монотонность (указав интервалы возрастания и убывания) и экстремум; 7. определить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба; 8. при необходимости вычислить значения функции в дополнительных точках; 9. построить схематично график функции, используя результаты полученные в пунктах 1-8.
Областью определения функции является множество . Так как и , то функция не является ни четной, ни нечетной. Функция претерпевает разрыв в точке . Найдем асимптоты графиков функции: а). Прямая является вертикальной асимптотой, т.к.
,
б). Находим наклонные и горизонтальные асимптоты (горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных асимптот) ,
где ; Таким образом, прямая является единственной наклонной асимптотой и на , и на .
Найдем точки пересечения графика функции с осями координат. а) С осью : , , т.е. точка пересечения с осью - . б) С осью : , , т.е. точка пересечения с осью - .
6. Исследуем функцию на возрастание, убывание и экстремум. Для этого найдем производную функции.
Из получаем , откуда , .
+ _ + ______________________________________ x -3 11
Так как на интервалах и производная положительна, т.е. , то график функции на указанных интервалах возрастает. Так как на интервале производная отрицательна, т.е. , то на указанном интервале график функции убывает. Так как при переходе через точки , производная функции меняет знаки и эти точки входят в область определения функции, то , - точки локального экстремума. Причем точка локального минимума: (так как при переходе через нее производная меняет знак с "+" на "-"); - точка локального максимума: (так как при переходе через нее производная меняет знак с "-" на "+").
7. Исследуем график функции на выпуклость, вогнутость и определим точки перегиба. Для этого найдем вторую производную функции.
Очевидно, что в интервале вторая производная меньше нуля, т.е. , и в этом интервале график функции является выпуклым вверх. В интервале вторая производная больше нуля, т.е. , и в этом интервале график функции является выпуклым вниз (вогнутым). Несмотря на то, что при переходе через точку вторая производная меняет знак, она не является точкой перегиба, так как не входит в область определения функции, т.е. функция в ней не определена. Таким образом, точек перегиба у графика функции нет.
Из получаем , откуда , .
+ _ + ______________________________________ x -3 11
Так как на интервалах и производная положительна, т.е. , то график функции на указанных интервалах возрастает. Так как на интервале производная отрицательна, т.е. , то на указанном интервале график функции убывает. Так как при переходе через точки , производная функции меняет знаки и эти точки входят в область определения функции, то , - точки локального экстремума. Причем точка локального минимума: (так как при переходе через нее производная меняет знак с "+" на "-"); - точка локального максимума: (так как при переходе через нее производная меняет знак с "-" на "+").
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (218)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |