Формулы преобразования аффинной систем координат

1. Пространства. Пусть в пространстве даны две аффинные системы координат (О, v₁, v₂, v₃) и (О¢, v₁¢, v₂¢, v₃¢), первую систему координат называем старой, а вторую новой. Пусть точка О¢ в системе (О, v₁, v₂, v₃) имеет координаты O¢(x₀, y₀, z₀), а T = (t_ij) матрица перехода от базиса старой системы координат к базису новой. Пусть точка A имеет в старой и новой системах координат соответственно координаты A(x, y , z) и A(x¢, y¢, z¢). По определению координат точки имеем,

=xv₁ + yv₂ + zv₃, = x¢v₁¢+ y¢v₂¢ + z¢v₃¢, =x₀v₁ + y₀v₂ + z₀v₃.

 По определению матрицы перехода от одного базиса к другому имеем:

v₁¢ = t₁₁v₁ + t₂₁v₂ + t₃₁v₃, v₂¢ = t₁₂v₁ + t₂₂v₂ + t₃₂v₃, v₃¢ = t₁₃v₁ + t₂₃v₂ + t₃₃v₃.

Так как , то получаем другое представление вектора

= (x₀v₁ + y₀v₂ + z₀v₃) + (x¢v₁¢+ y¢v₂¢ + z¢v₃¢) =

= (x₀v₁ + y₀v₂ + z₀v₃) + x¢(t₁₁v₁ + t₂₁v₂ + t₃₁v₃) + y¢(t₁₂v₁ + t₂₂v₂ + t₃₂v₃) + z¢(t₁₃v₁ + t₂₃v₂ + t₃₃v₃) =

= (x₀ + x¢t₁₂ + y¢t₁₂ + z¢t₁₃)v₁ + (y₀ + x¢t₂₂ + y¢t₂₂ + z¢t₂₃)v₂ + + (z₀ + x¢t₃₂ + y¢t₃₂ + z¢t₃₃)v₃.

В силу единственности представления вектора через векторы базиса получаем формулы

x = x₀ + t₁₂x¢ + t₁₂y¢ + t₁₃z¢,

y = y₀ + t₂₂x¢ + t₂₂y¢ + t₂₃z¢,                                                                        (3.1)

z = z₀ + t₂₂x¢ + t₂₂y¢ + t₂₃z¢,

которые называются формулами преобразования координат точки при переходе от одной системы координат к другой. Формулы (3.1) удобно записать в матричной форме:

.                                         (3.2)

2. Плоскости. Пусть на плоскости даны две аффинные системы координат (О, v₁, v₂) и (О¢, v₁¢, v₂¢), (старая и новая). Пусть точка О¢ в системе (О, v₁, v₂) имеет координаты O¢(x₀, y₀), а T = (t_ij) матрица перехода от базиса старой системы координат к базису новой. Пусть точка A имеет в старой и новой системах координат соответственно координаты A(x, y) и A(x¢, y¢). Повторяя рассуждения предыдущего пункта, получим следующие формулы преобразования координат плоскости:

x = x₀ + t₁₁x¢ + t₁₂y¢, y = y₀ + t₂₂x¢ + t₂₂y¢,                              (3.3)

которые удобно записать в матричной форме:

.                                        (3.4)

3. Прямой. Пусть на прямой даны две аффинные системы координат (О, v₁) и (О¢, v₁¢), (старая и новая). Пусть точка О¢ в системе (О, v₁) имеет координаты O¢(x₀), а T = (t₁₁) матрица перехода от базиса старой системы координат к базису новой. Пусть точка A имеет в старой и новой системах координат соответственно координаты A(x) и A(x¢). Повторяя рассуждения предыдущего пункта, получим следующие формулы преобразования координат плоскости:

x = x₀ + t₁₁x¢.                                                        (3.5)

4. Параллельного переноса. Осуществим параллельный перенос системы координат (О, v₁, v₂, v₃), так, чтобы ее новое начало оказалось в точке O¢(x₀, y₀, z₀). Получим новую систему координат  (О¢, v₁, v₂, v₃). Матрица T = (t_ij) перехода от базиса v₁, v₂, v₃ к базису v₁, v₂, v₃ является единичной матрицей и формулы (2.1) принимают вид:

x = x₀ + x¢,

y = y₀ + y¢,                                                         (3.6)

z = z₀ + z¢,

которые называются формулами параллельного переноса .В случае плоскости они принимают следующий вид,

x = x₀ + x¢, y = y₀ + y¢,                                              (3.7)

в случае прямой -

x = x₀ + x¢.