Основные задачи, решаемые в прямоугольной системе координат

В прямоугольной системе координат решаются все те задачи, которые решаются в аффинной системе координат, а решаются так называемые метрические задачи, связанные с измерением отрезков, углов, площадей и объемов.

1. Измерение длины отрезка. Найти расстояние между точками

A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂) в прямоугольной системе координат Oxyz. Расстояние меду точками и равно длине вектора

= (x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁).                            (5.1)

По формуле для длины вектора находим

.                (5.2)

Для точек A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) плоскости Oxy формула (5.2) принимает вид

,                             (5.3)

а для точек A(x₁), B(x₂) прямой Ox -

.                                               (5.4)

2. Измерение углов. Угол A в треугольнике ABC равен углу между векторами a =  и b = . Угол j между ненулевыми векторами a = (x₁, y₁, z₁), b = (x₂, y₂, z₂) легко находится из определения скалярного произведения векторов ab = |a||b|cos j и формулы для скалярного произведения векторов в координатной форме:

.        (5.5)

Для векторов плоскости формула (5.5) принимает вид:

.                              (5.6)

Из формулы для определения модуля векторного произведения векторов легко найти формулу для синуса угла между векторами a и b.

.                            (5.7)

Для случая пространства углы между векторами неориентированные и не имеют знака. Для случая плоскости углы между векторами ориентированные и имеют знак. Угол Ð( a, b) называется положительным, если поворот от вектора к по наименьшему углу совершается против часовой стрелки, и отрицательным в противном случае.

По определению косинуса и синуса произвольного угла имеем

.

Так как j = b - a, , то получаем

.

Последнюю формулу можно записать в виде

.                                              (5.8)

Из формул (5.6) и (5.8) получаем формулу для тангенса угла между векторами

.                                              (5.9)

3. Измерение площадей.  Любой многоугольник можно диагоналями разбить на треугольники, поэтому вычисление площади любого многоугольника сводится к вычислению площади треугольника. Вычислим площадь треугольника ABC, у которого заданы координаты вершин A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂) , С(x₃, y₃, z₃) в прямоугольной системе координат Oxyz. Рассмотрим векторы = (x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁), = (x₃ - x₁, y₃ - y₁, z₃ - z₁). По определению векторного произведения векторов площадь s треугольника ABC, вычисляется по формуле . Тогда получаем

.                         (5.10)

Отсюда находим

.

Площадь плоского треугольника ABC, у которого заданы координаты вершин A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) , С(x₃, y₃) в прямоугольной системе координат Oxy можно найти, используя формулу синуса угла между векторами

,    (5.11)

где стоит знак "+", если поворот от вектора  к вектору  по наименьшему углу осуществляется против часовой стрелки, т.е. обход треугольника ABC осуществляется против часовой стрелки, знак "-" - в противном случае. В первом случае говорят, что треугольник ориентирован положительно, а во втором - отрицательно.

4. Измерение объемов.  Любой многогранник можно плоскостями разбить на треугольные пирамиды, поэтому вычисление объема любого многогранника сводится к вычислению объема треугольной пирамиды. Вычислим объем треугольной пирамиды ABCD, у которой заданы координаты вершин A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂) , С(x₃, y₃, z₃), , С(x₄, y₄, z₄) в прямоугольной системе координат Oxyz. Рассмотрим векторы = (x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁), = (x₃ - x₁, y₃ - y₁, z₃ - z₁) , = (x₄ - x₁, y₄ - y₁, z₄ - z₁). По свойству смешенного произведения векторов модуль смешенного произведения векторов площадь объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Отсюда об]ем v треугольной пирамиды ABCD, вычисляется по формуле . Тогда получаем

.                        (5.12)