Операция сложения векторов и ее свойства.

Определение 11. Суммой двух векторов a и b, называются такой третий вектор с, обозначаемый символом a + b, который изображается направленным отрезом , построенным следующим образом: из любой точки O откладывается направленный отрезок = a, из точки А откладывается направленный отрезок = b.

Теорема 5. Сумма a + b любых двух векторов a и b определяется однозначно.

Доказательство. В силу теоремы 4 достаточно доказать, что сумма векторов не зависит от выбора начальной точки О. Построим две суммы a + b векторов a и b, выбирая в качестве начальных точек две различные точки О и О¢ (см. рис 9). Покажем, что . Так как и , то по следствию 2 теоремы 3 и . Тогда по теореме 2 . Отсюда, применяя следствие 2 теоремы 3 получаем .

Теорема 6. Для любых векторов a, b, c справедливы свойства:

1) a + b = b + a - коммутативный закон сложения;

2) a + (b + c) = (a + b) + c - ассоциативный закон сложения;

3) a + 0 = a - свойство нулевого вектора;

4) a + (-a) = 0 - свойство противоположно

Доказательство. Справедливость свойств 1 и 2 вытекает из определения 11 (см. рис. 10 и 11), а свойств 3 и 4 из определений нулевого и противоположного векторов. 

Сумму двух неколлинеарных векторов a и b можно найти по правилу параллелограмма . Для этого необходимо из одной точки O отложить оба вектора a = и b =  и построить параллелограмм OADB на векторах и  (см. рис. 10). Тогда суммой a + b векторов a и b изображается направленным отрезком  диагонали параллелограмма.

Сумму любого конечного числа векторов можно найти по правилу многоугольника (см. рис. 12).

Вычитание векторов.

Определение 12. Разностью двух векторов a и b, называются такой третий вектор с, обозначаемый символом a - b, при сложении которого с вектором b получаем вектор a.

Теорема 7. Для любых векторов a, b разность a - b существует, единственна и вычисляется по формуле:

a - b = a + (-b).                                                                    (1)

Доказательство. Так как        

(a + (-b)) + b = a + ((-b) + b) = a + 0 = a,

то вектор a + (-b) разность векторов a и b. Доказывая единственность разности допустим, что векторы с и d являются разностью векторов a и b. Тогда по определению разности имеем b + с = a и b +d = a. Отсюда b + с = b +d. Прибавляя к обеим частям этот равенства вектор получаем  (-b) + (b + с)= (-b)+ (b +d ). Применяя свойства теоремы 6 последовательно получаем равенства:

((-b) + b) + с)=((-b)+ b) +d,

0 + с =0 +d,

с= d .

Разность векторов aиb геометрически можно найти двумя способами по определению 12 (см. рис. 13) и по теореме 7 (см. рис 14). По определению 12 разность a - b равна вектору, выходящему из конца второго вектора b в начало первого a, если векторы aиb отложены от одной точки. По теореме 7 разность a- b равна сумме векторов a + (-b).