Операция умножения вектора на число и ее свойства.

Определение 13. Произведением вектора a на число l называется такой вектор b, что

1) | b | = | l || a|

2) если l > 0, то a­­b, если l < 0, то a­¯b, если l = 0 или a = 0, то b = 0.

Произведение вектора a на число l обозначается символом l a. Числа называют также скалярными величинами или скалярами.

Теорема 8. Вектора a ¹ 0 коллинеарен вектору b тогда и только тогда, когда найдется такое число, что b = l a.

Доказательство. Если , то по определения 13 следует, что векторы коллинеарны. Обратно, пусть вектора коллинеарны. Тогда, полагаяl = ±|b|/|a|, где стоит знак "+", если a­­b, стоит знак "-", если a­¯b, по определению 13 получим b = l a.

Теорема 9. Для любых векторов a, b и для любых чисел l, m справедливы свойства:

1) l(m a) = (lm) a - смешенный ассоциативный закон;

2) (l + m) a = l a+ m a - дистрибутивный закон;

3) l (a + b) = l a + l b - дистрибутивный закон;

4) 1 a = a - свойство умножения на единицу.

Доказательство. 1. Если векторы a или b равны 0 или числа m равны нулю, то равенства 1-3 теоремы почти очевидны (проверте их). Также по определению равенства векторов проверяется равенство 4. Поэтому дальше будем считать, что a ¹ 0, b ¹ 0,lm ¹ 0.

 1. Длины векторов l(m a), (lm) a равны |l||m| |a|, и поэтому равны между собой. Далее оба эти вектора коллинеарны вектору a. Если числа l и m одного знака, то направление векторов l(m a), (lm) a совпадает с направлением вектора a. Если числа l и m противоположных знаков, то эти векторы противоположны вектору a. Отсюда по определению векторы l(m a), (lm) a равны.

2. Если числа l и m одного знака, то векторы (l + m) a, l a, m a сонаправлены и |l a+m a| = |l a|+|m a|= |l ||a| + | m|| a| = (| l | + | m | )| a|.

Так как в этом случае |l + m | = | l | + | m |, то |(l + m) a| = || l a + m a|.

Отсюда, по определению равенства векторов (l + m) a = l a + m a.

Случай, когда числа l и m противоположного знака рассмотрите самостоятельно.

3. Если векторы a и b коллинеарны, то по теореме 8 его можно представить в виде b = m a. Тогда по свойствам 1, 2 и 4 имеем 

l (a + b) = l (1a + m a) = l (1a) + l (m a) =l a + l (m a) = l a + l b.

Если векторы a и b неколлинеарны, то построим сумму a + b = = + . Построим вектор l a = , l (a + b) = (см. рис. 15 при l > 0 и рис. 16 при l < 0). Получим, что треугольники О AB и OCD подобны. Из подобия треугольников и определения 13 получаем, что = l a. Отсюда находим, что l (a + b) = = = + =la + l b.

Пространство геометрических векторов. Множество V₃ всех геометрических векторов пространства является векторным пространством на полем действительных чисел относительно операций сложения векторов и умножения вектора на число (см. теоремы 6 и 9 § 1).. Также векторным пространством является множество V₂ (V₁) всех векторов плоскости (прямой).

Множество всех геометрических векторов, коллинеарных данному вектору a образует подпространство пространства V₃ всех геометрических векторов.