Базисы векторного геометрического пространства

1. Базис векторов прямой. Множество V₁ векторов фиксированной прямой образует векторное пространство.

Теорема 1. Любой ненулевой вектор e прямой образует базис векторного пространства V₁.

Доказательство. По свойству 3 § 2 вектор e образует линейно независимую систему. Пусть a Î V₁. Тогда по свойству линейной зависимости вектор a линейно выражается через вектор e. По определению 1 вектор e образует базис пространства V₁.

Теорема 2. Векторы a и b коллинеарны тогда только тогда, когда они линейно зависимы.

Доказательство. Пусть вектора a и b коллинеарны. Если a = 0, то по свойству 3 § 3 вектора a,b линейно зависимы. Если a ¹ 0, по теореме о линейной зависимости систем векторов вектор b линейно выражается через вектор a , и векторы a,b линейно зависимы.

Обратно, если векторы a,b линейно зависимы, то по свойству 1 § 3, один из этих векторов линейно выражается через другой и вектора a и b коллинеарны.

Следствие 1. Векторы a и b коллинеарны тогда только тогда, когда они линейно зависимы.

Векторы a и b неколлинеарны тогда  только тогда, когда они линейно независимы.

В силу предложений, полученных в предыдущем параграфе, получаем следующие следствия.

Следствие 2. Векторы a = (a₁, a₂,... ,a_n), b = (b₁, b₂,... ,b_n)неколлинеарны тогда только тогда, когда ранг матрицы

,                                                            (12)

составленной из координат векторов, равен 2. Векторы a и b коллинеарны тогда и только когда ранг матрицы (12) равен 1.

Ранг матрицы (12) равен 1 тогда и только тогда, одна из строк матрицы получается из другой строки, умножением на одно и то же число. Поэтому получаем еще следующее утверждение.

Следствие 2. Векторы a = (a₁, a₂,... ,a_n), b = (b₁, b₂,... ,b_n)неколлинеарны тогда только тогда, когда координаты векторов соответственно пропорциональны, т.е.

,                                                         (13)

где предполагается, что числитель равен нулю, если знаменатель равен нулю.

2. Базис векторов на плоскости. Множество V₂ векторов фиксированной плоскости образует векторное пространство.

Теорема 3. Любая упорядоченная система двух неколлинеарных векторов a, b Î V₂ образуют базис векторного пространства V₂.

Доказательство. Пусть a и b неколлинеарные вектора плоскости. По следствию 2 теоремы 2 векторы a и b образует линейно независимую систему. Пусть с Î V₂. Отложим векторы a, b и с от точки O: a = , b = и с = (см. рис. 17). Проведем через точку C прямую l, параллельную прямой OB. Так как векторы a и b неколлинеарны, то прямые OA и l пересекаются в точке D. Тогда = + . Так как векторы и соответственно коллинеарны векторам a и b, то по свойству линейной зависимости они соответственно линейно выражается через векторы a и b: =a a, =b b. Поэтому с = = a a + b b, и по определению 1 вектора a и b образует базис пространства V₂.

По теореме 3 базис векторов на плоскости образуют любые два неколлинеарные вектора, поэтому любой вектор на плоскости имеет две координаты. Тогда справедливо следующее утверждение.

Следствие 1. Вектора a = (a₁, b₁), b = (a₂, b₂)образуют базис векторов плоскости тогда и только тогда, когда

= 0.

Теорема 4. Векторы a, b и с компланарны тогда только тогда, когда они линейно зависимы.

Доказательство. Пусть вектора a, b и с компланарны. По определению они могут быть изображены на одной плоскости p. Если вектора a,b коллинеарны, то по следствию 1 теоремы 2 они линейно зависимы. Тогда по свойству по свойству линейной зависимости вектора a, b, с  линейно зависимы. Если вектора a,b неколлинеарны, то по теореме 3 они образуют базис векторов плоскости p. Тогда вектор с линейная комбинация векторов a, b, и по свойству линейной зависимости векторы a, b, с линейно зависимы.

Обратно, если векторы a,b, с линейно зависимы, то по свойству линейной зависимости, один из этих векторов линейно выражается через два другие. Тогда вектора могут быть изображены одной плоскости и поэтому  коллинеарны.

Следствие 1. Векторы a, b и с некомпланарны тогда только тогда, когда они линейно независимы.

3. Базис векторов пространства. Рассмотрим множество V₃ всех векторов пространства.

Теорема 5. Любая упорядоченная система трех некомпланарных векторов a, b, с Î V₃ образуют базис векторного пространства V₃.

Доказательство. Пусть a, b, с некомпланарные векторы. По следствию 1 теоремы 8 они образует линейно независимую систему. Пусть d Î V₃. Отложим векторы a, b, с и d от точки O: a = , b = , с = , d =  (см. рис. 18). Проведем через точку D прямую l, параллельную прямой OD. Так как векторы a, b, с некомпланарны, то прямая l пересекает плоскость OAB в точке E. Тогда = + . Так как векторы  лежит в плоскости OAB, а вектора образуют базис векторов этой плоскости, то по теореме 7 = a a + b b, где a, b Î R. Так как вектор  коллинеарен вектору c , то по теореме 8 § 1 он линейно выражается через вектор с: = g с. Поэтому d = = a a + b b + g с и по определению 1 вектора a, b, с  образует базис пространства V₃.

По теореме 5 базис векторов на пространстве образуют любые три некомпланарные вектора, поэтому любой вектор в пространстве имеет три координаты. Тогда справедливо следующее утверждение.

Следствие 1. Вектора a = (a₁, b₁, g₁), b = (a₂, b₂, g₂), с = (a₃, b₃, g₃)образуют базис векторов пространства тогда и только тогда, когда

= 0.

Теорема 6. Любые четыре вектора a, b, с, d в пространстве линейно зависимы.

Доказательство. Если векторы a, b, с компланарны, то по теоремы 5 они линейно зависимы. Тогда по свойству линейной зависимости по свойству 4 § 3 вектора a, b, с, d линейно зависимы. Если вектора a, b, с некомпланарны, то по теореме 5 они образуют базис векторов пространства. Тогда вектор d линейная комбинация векторов a, b, с и по свойству линейной зависимости векторы a, b, с, d линейно зависимы.

Задача 1. Доказать что векторы a = (1, 2, 0), b = (3, 2, 1), с = (0, 1, -1) образуют базис в пространстве и выразить вектор d = (5, 5, 2) через векторы базиса.

Решение. Так как определитель

,

то векторы a, b, с образуют базис пространства V₃.

Для того, чтобы найти координаты вектора d в базисе a, b, с составим векторное уравнение

x a + y b + z c = 0.                                                                  (14)

и запишем его в координатной форме:

Решаем эту систему линейных уравнений: x = 2, y = 2, z = -1 и находим d = 2a + b - с.

Координаты вектора.

Теорема 1. Любой вектор a Î V единственным образом линейно выражается через вектора базиса, т.е., если v₁, v₂, ..., v_n базис векторного пространства V , то

a = x₁v₁ + x₂v₂ +...+ x_nv_n ; x₁, x₂, ...,x_n Î P,                                    (2)

и такое представление единственно.

Доказательство. 6° Пусть b₁, b₂, ..., b_r базис системы S. По определению базиса любой вектор a Î S есть линейная комбинация векторов базиса:

a = a₁b₁ + a₂b₂ +...+ a_rb_r.

Доказывая единственность такого представления, допустим противное, что есть еще одно представление:

a = b₁b₁ + b₂b₂ +...+ b_rb_r.

Вычитая эти равенства почленно, находим

0 = (a₁ - b₁)b₁ + (a₂ - b₂)b₂ +...+ (a_r - b_r)b_r.

Так как базис b₁, b₂, ..., b_r линейно независимая система, то все коэффициенты a_i - b_i =0; i = 1, 2, ..., r. Следовательно, a_i = b_i ; i = 1, 2, ..., r и единственность доказана.

Представление вектора a в виде (2) называется разложением вектора по векторам базиса, а числа x₁, x₂, ..., x_n называются координатами вектора a в данном базисе. 

По определению произведения строки на столбец это равенство можно представить как

a = (v₁ ,v₂ ,... v_n) = v ×(x₁ ,x₂ ,... ,x_n)^t,                                           (3)

v = (v₁ ,v₂ ,... v_n) - базис векторного пространства. Строка (x₁ ,x₂ ,... ,x_n) называется координатной строкой вектора a, и вектор записывается в виде: a = (a₁, a₂,... ,a_n). Столбец (x₁ ,x₂ ,... ,x_n)^t - координатным столбцом вектора a.

Теорема 2. Пусть два вектора a и b разложены по одному и тому же базису: a = (a₁, a₂,... ,a_n), b = (b₁, b₂,... ,b_n). Тогда справедливы утверждения.

1° Векторы a и b равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты, т.е. a_i = b_i ; i = 1, 2,… , n .

 2° При сложении векторов складываются их соответствующие координаты, т.е. a + b = (a₁ + b₁,a₂ + b₂,... ,a_n + b_n).

 3° При умножении вектора a на число l все координаты вектора a умножаются на это число l , т.е. l a = (l a₁,l a₂,... , l a_n).

Доказательство. Справедливость 1° следует в силу единственности разложения вектора по векторам базиса. Докажем 2°. Пусть

a = x₁v₁ + x₂v₂ +...+ x_nv_n , b = y₁v₁ + y₂v₂ +...+ y_nv_n

разложения векторов a , b по базису v₁ ,v₂ ,... v_n. Тогда

a + b = (x₁ + y₁)v₁ + (x₂ + y_n)v₂ +...+ (x_n + y_n)v_n

и отсюда следует 2°. Утверждение 3° доказывается аналогично.

3. Матрица перехода. Пусть

v = (v₁, v₂, ..., v_n) ,

u = (u₁, u₂, ..., u_n)                                        

два базиса векторного пространства V . Выразим вектора базиса второго базиса через вектора первого базиса:

u₁ = t₁₁v₁ + t₂₁v₂ + ... +t_n1v_n,

u₂ = t₁₂v₁ + t₂₂v₂ + ... +t_n2v_n,                                                                       (4)

. . . . . . . . . . . . . .                   

u_n = t_1nv₁ + t_2nv₂ + ... +t_nnv_n.

Определение 3. Матрицей перехода от базиса v , к базису u называется такая матрица

,

столбцы которой есть соответствующие координатные столбцы векторов второго базиса u в первом базисе v.

В силу (4) связь между базисами и матрицей перехода можно записать в виде:

 (u₁, u₂, ..., u_m) = (v₁, v₂, ..., v_n) ,

или

u = vT.                                                                        (5)

C другой стороны, если T ¢ - матрица перехода от базиса u к базису v , то

v = uT ¢.                                                                       (6)

Из (5) и (6) получаем

u = (uT ¢)T = u(T ¢ T) , v = (vT)T ¢ = v (TT ¢).                                              (7)

Лемма 1. Пусть А, В матрицы размерности m ´ n c элементами из поля Р и v = (v₁, v₂, ..., v_n) - базис n-мерного векторного пространства на Р. Если vA = vB, то A = B. 

Доказательство. Пусть

, .

Тогда по определениям умножения и равенства матриц равенство vA = vB запишется в виде m векторных равенств:

a_1jv₁ + a_2jv₂ + ... + a_njv_n = b_1jv₁ + b_2jv₂ + ... + b_njv_n; j = 1, 2, ...,m.

В силу условия равенства векторов, записанных в координатной форме находим a_ij = b_ij; i = 1, 2, ...,n; j = 1, 2, ...,m. Отсюда A = B. Лемма доказана.

Так как v = vЕ и u = uE , то из равенств (7) по лемме 1 получаем T ¢ T = TT ¢ = Е. Отсюда detT ¹ 0 , T ¢ = T^-1 и доказана теорема.

Теорема 3. Матрица перехода от одного базиса к другому является невырожденной матрице. Матрицы перехода от первого базиса ко второму и от второго базиса к первому базису являются взаимно обратными матрицами.

4. Преобразование координат вектора. Найдем связь между координатными столбцами произвольного вектора a в базисах v и u. Пусть (x₁ ,x₂ ,... ,x_n)^t и (x₁¢ ,x₂¢ ,... ,x_n¢)^t - координатные столбцы вектора a в базисах v и u . Тогда по формуле (3)

a = v ×(x₁ ,x₂ ,... ,x_n)^t , a = u ×(x₁¢ ,x₂¢ ,... ,x_n¢)^t .

Отсюда по формуле (6) находим

a = v ×(x₁ ,x₂ ,... ,x_n)^t = (uT)×(x₁¢ ,x₂¢ ,... ,x_n¢)^t =u(T ×(x₁¢ ,x₂¢ ,... ,x_n¢)^t)

и по лемме 1

(x₁ ,x₂ ,... ,x_n)^t = T ×(x₁¢ ,x₂¢ ,... ,x_n¢)^t .                                                     (8)

Отсюда по определению равенства матриц получаем систему равенств:

x₁  = t₁₁x₁¢ + t₁₂x₂¢ + ... + t_1nx_n¢,

x₂  = t₂₁x₁¢ + t₂₂x₂¢ + ... + t_2nx_n¢,

. . . . . . . . . . . . . . . .                                                               (9)

x_n  = t_n1x₁¢ + t_n2x₂¢ + ... + t_nnx_n¢.

Полученные формулы (8) или (9) называются формулами преобразования координат, а матрица T так же называется матрицей преобразования координат.

5. Условие линейной независимости векторов в координатной форме. Рассмотрим систему векторов a_i = a _i1v₁ + a _i2v₂ + ... +a _{i n}v_n, i =1, 2, …, k. Составим векторное уравнение

x₁a₁ +x₂a₂ + ...+ x_ka_k = 0.                                                          (10)

В силу условия равенства векторов координатной форме уравнение (10) равносильно системе n линейных уравнений с k неизвестными:

                                                  (11)

Система (11) имеет нулевое решение. По теореме Кронекера-Капелли она имеет единственное нулевое решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен k . Отсюда получаем следующую теорему.

Теорема 4. Система k векторов n -мерного векторного пространства линейно независима тогда и только тогда, когда ранг матрицы, составленной из координат этих векторов в некотором базисе, равен k .

Следствие 1. Упорядоченная система из n векторов образует базис n -мерного векторного пространства тогда и только тогда, когда ранг матрицы, составленной из координат этих векторов в некотором базисе, равен n .

Ранг квадратной матрицы порядка равен тогда и только тогда, когда определитель матрицы не равен нулю. Таким образом получаем следующее утверждение.

Следствие 2. Упорядоченная система из n векторов образует базис n -мерного векторного пространства тогда и только тогда, когда равен нулю определитель, составленной из координат этих векторов в некотором базисе.