Приближенное вычисление определенных интегралов.
Вычисление определенных интегралов на основании формулы (15) [96] с помощью первообразной функции не всегда возможно, так как, хотя первообразная функция и существует, если подынтегральная функция непрерывна, однако она далеко не всегда может быть найдена фактически, и даже тогда, когда ее можно найти, она имеет часто весьма сложный и неудобный для вычислений вид. Поэтому важное значение имеют способы приближенного вычисления определенных интегралов. Большая часть их основывается на истолковании определенного интеграла как площади и как предела суммы Во всем дальнейшем мы условимся раз навсегда делить промежуток на равных частей; длину каждой части обозначим через А, так что Обозначим далее через значение подынтегральной функции при Эти величины мы считаем известными; их можно получить непосредственным вычислением, если функция задана аналитически, или снять прямо с чертежа, если она изображена графически. Полагая в сумме, стоящей в правой части или мы получим две приближенные формулы прямоугольников: где знак обозначает приближенное равенство. Чем больше число , т. е. чем меньше А, тем эти формулы будут точнее и в пределе, при и дадут точную величину определенного интеграла. Таким образом, погрешности формул (40) и (41) стремятся к нулю при возрастании числа ординат. При данном же значении числа ординат верхний предел погрешности особенно просто определяется для того случая, когда данная функция монотонна в промежутке В этом случае ясно непосредственно из чертежа, что погрешность каждой из формул (40) и (41) не превышает суммы площадей заштрихованных прямоугольников, т. е. не превышает площади прямоугольника с тем же основанием и высотой, равной сумме высот заштрихованных прямоугольников, т. е. величины, Формулы прямоугольников вводят вместо точного выражения площади кривой приближенное ее выражение — площадь ступенчатой ломаной линии, составленной из горизонтальных и вертикальных отрезков, ограничивающих прямоугольники. Иные приближенные выражения мы получим, если вместо ступенчатой ломаной линии будем брать другие линии, которые достаточно мало отличаются от данной кривой; чем ближе такая вспомогательная линия подходит к кривой тем меньше будет погрешность, которую мы совершаем, приняв за величину площади — площадь, ограниченную вспомогательной линией. Так, например, если мы заменим данную кривую вписанной в нее ломаной линией, ординаты которой при совпадают с ординатами данной кривой (рис. 147), другими словами, заменим рассматриваемую площадь суммою площадей вписанных в нее заштрихованных трапеций, то получим приближенную формулу трапеций:
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (215)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |