РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ В СТЕПЕННОЙ РЯД

При анализе экспериментальных данных для описания теоретической зависимости между переменными часто используются многочлены. Более того, для всякой функции, имеющей достаточное количество производных, найдется многочлен, приближающий эту функцию. Такой многочлен находится на основе формулы Тейлора.

Пусть функция y = f (x) определена в некоторой окрестности точки x0 и имеет в ней производные до порядка n + 1 включительно. Тогда для всякого х из этой окрестности справедливо равенство

где с – некоторая точка из интервала (x0; x). Такая формула называется формулой Тейлора для функции f (x) в окрестности точки x0.

Многочленом Тейлора для функции f (x) в окрестности точки x0 называется многочлен

Остаточным членом формулы Тейлора называется последнее слагаемое в формуле Тейлора

Таким образом многочлен Тейлора P n(x) служит приближением функции f (x). Оценкой этого приближения служит остаточный член формулы Тейлора.

Формулой Маклорена для функции f (x) называется ее формула Тейлора при x0 = 0

где с – некоторая точка из интервала (0; х).

Рассмотрим степенной ряд Для всех х принадлежащих области сходимости ряда, его сумма является функцией от х:

В общем случае представление функции f (x) в виде степенного ряда производится на основе формулы Тейлора.

Рядом Тейлора функции f (x) в точке x0 называется степенной ряд

Ряд Тейлора определяется для функции, имеющей производные всех порядков.

Остаточным членом ряда Тейлора для функции f (x) называется разность

 

Следует отметить, что ряд Тейлора для функции f (x) может расходится. Более того, доже для сходящегося ряда Тейлора его сумма может не совпадать со значением функции f (x).

Необходимое и достаточное условие совпадения суммы сходящегося ряда Тейлора со значением самой функции формулирует следующая теорема

Для того чтобы ряд Тейлора функции f (x) в точке x 1 сходился к значению f (x) при x = x 1 , необходимо и достаточно, чтобы остаточный член R n ( x 1 ) стремился к нулю при n → ∞ ,

При этом, если |f (n) (x)| ≤ K < 0 в некоторой окрестности точки x 1 , то сумма ряда Тейлора равна f (x) для всех х из этой окрестности.

Рядом Маклорена функции f (x) называется ряд Тейлора в точке x0 = 0:

В Mathcad разложение функции в степенной ряд осуществляется с помощью функций меню Symbolic | Variable | Expand to Series (Символиные операции | Переменная | Разложение в ряд).

Технология реализуется следующими процедурами:

• ввод математического выражения;

• выделение переменной двойным щелчком мыши;

• обращение к командам меню Symbolic | Variable | Expand to Series, на экране появится диалоговое окно Expand to Series (Разложение в ряд) для установки количества членов степенного ряда, по умолчанию n = 6;

• ввод в поле Order of Approximation (Порядок приближения) желаемого числа членов ряда;

• щелчок по кнопке ОК, на экране появится ответ в виде степенного ряда.

Если требуется установить большее количество слагаемых в разложении и сохранить функцию для дальнейшего использования, то поступают следующим образом:

задание функции f (x);

задание многочлена разложения f1(x);

во вкладке Symbolic (Символьные) необходимо выбрать команду series и указать через запятую переменную разложения и количество слагаемых в разложении.

ГАРМОНИЧЕСИКЙ АНАЛИЗ

Гармоническим анализом называют разложение функции f(x), заданной на отрезке [0,2π], в ряд по функциям вида sinkx и coskx, где k – целое число. Если функция задана на другом отрезке, то линейной заменой переменно задачу можно свести к отрезку [0,2π]. Каждой интегрируемой функции на [0,2π] можно поставить в соответствие ее тригонометрический ряд Фурье, т.е.

Коэффициенты ряда вычисляются по формулам Фурье-Эйлера

и называют коэффициентами ряда Фурье.

Функция f (x) называется кусочно-монотонной на отрезке [a,b], если этот отрезок можно разделить на конечное число отрезков, внутри каждого изкоторых функция либо только возрастает, либо только убывает, либо постоянна.

Функция f (x) называется удовлетворяющей условиям Дирихле на отрезке [a,b], если:

1) функция непрерывна на отрезке [a,b] или же имеет на нем конечное число точек разрыва I рода;

2) функция кусочно-монотонна на отрезке [a,b].

Достаточные условия разложения функции в ряд Фурье.

Терема (Дирихле). Пусть периодическая функция f (x) с периодом 2π удовлетворяет на любом отрезке условиям Дирихле. В таком случае ряд Фурье, соответствующий этой функции, сходится во всех точках числовой оси. При этом в каждой точке непрерывности функции f (x) сумма ряда S(x) равна значению функции в этой точке. В каждой точке xo разрыва функции сумма ряда равна среднему арифметическому предельных значений функции при x → xo слева и справа, т.е.

Таким образом, гармонический анализ состоит в вычислении коэффициентов Фурье.

 

ЗАДАНИЕ 1 ( Разложить указанную функцию в степенной ряд вблизи точки x = 0 )

Разложим указанную функцию в степенной ряд вблизи точки x = 0:

 

во вкладке Symbolic (Символьные) необходимо выбрать команду series и указать через запятую переменную разложения и количество слагаемых в разложении:

 

Изобразим данные линии на координатной плоскости:

Опять же, разлаживаем указанную функцию:

Так же, через вкладку Symbolic (Символьные) выбираем команду series и указываем через запятую переменную разложения и количество слагаемых в разложении:

 

 

Изобразим данные линии на координатной плоскости:

 

ЗАДАНИЕ 2 ( Произвести гармонический анализ указанной функции на отрезке [0;2 π ])

Произведем гармонический анализ указанной функции на отрезке [0;2π]:

Коэффициенты ряда вычисляются по формулам Фурье-Эйлера и их называют коэффициентами ряда Фурье:

Теперь поставим в соответствие ее тригонометрический ряд Фурье, т.е.:

Изобразим данные линии на координатной плоскости: