Решение. Первый способ.
Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Приходовский М.А. Математика Курс практических занятий Семестр 1 Учебное пособие Для специальностей Информатика и вычислительная техника» Инфокоммуникационные технологии и системы связи» Радиоэлектронные системы и комплексы» Томск ТУСУР 2019
Электронное учебное пособие составлено по материалам практических занятий в группах 589-1,2,3, 129, 1В9 осенью 2019 года.
Пособие может представлять методический интерес для преподавателей, работающих на аналогичных специальностях, как материал для планирования занятий.
Оглавление по темам
Таблица соответствия дат занятий и номеров задач.
Действия над матрицами. Задача 1. Найти сумму и разность матриц: + Решение. Складываем поэлементно: = . Вычитаем: = . Ответ. Сумма: разность: . Задача 2. Найти сумму матриц: + Решение. Складываем поэлементно: = . Ответ. . Задача 3. Даны матрицы , . Найти и . Решение. Запишем эти матрицы. Если первую разбить на строки, а вторую на столбцы, то видно, что есть всего 4 варианта скалярно умножить друг на друга вектор-строку их первой на вектор-столбец из второй. Например, если умножаем строку номер 1 на столбец номер 2, то и число, которое при этом получается, ставим в 1 строку 2 столбец новой матрицы. Итак, = . Теперь найдём . В данном случае первую матрицу можно разрезать на 3 строки, а вторую на 3 столбца. Таким образом, получаем 9 чисел. Покажем, например, как 1-я строка скалярно умножается на 1-й столбец, они обведены. . Ответ. . Задача 4. Найти произведения матриц: , , . Решение. = = = . = = = . = = = . Ответ. , , . Примечания. 1) Видим, что в общем случае может не выполняться закон коммутативности при умножении матриц, то есть 2) При умножении на матрицу, состоящую из всех единиц, исходная не получается, а вот если единицы по диагонали - получается. Матрица называется единичной матрицей. При этом выполняется . Задача 5. Дана матрица найти . Решение. Умножим матрицу саму на себя, то есть две её копии напишем рядом и умножим их. = = = . Ответ. . Как видно из этого примера, для матриц, в отличие от чисел, возможно, что получается нулевой объект в ответе, притом что в исходной матрице вообще ни одного нуля не было. Это из-за особенностей её строения: правый столбец в 2 раза меньше, чем левый, а нижняя строка в минус 2 раза больше, чем верхняя. И вообще, если взять пару матриц, где у первой будет пропорциональность строк (в k раз больше) а у второй - столбцов (в минус k раз меньше) получим такой же эффект. Задача 6. Найти произведение матриц . Решение. Размеры согласованы: длина строки 1-й матрицы равна высоте столбца 2-й матрицы. Первую можно мысленно разрезать на 2 строки, вторую на 3 столбца. Итого будет 6 различных произведений строк на столбцы. = . Ответ. . Задача 7. Вычислить и . Заметим, что получаются 1-й и 2-й столбец матрицы. = , = . Квадратная матрица отображает вектор в вектор. Коротко о понятии линейного оператора и строении его матрицы и о том, что при умножении на i-й базисный вектор получается столбец номер i. Задача 8А. Найти произведение: . Задача 8Б. . Решение. В 1-м случае размеры и , согласованы, умножение возможно. Во 2-м случае и , тоже согласованы (хоть столбцов и больше, но всё равно длина строки 1-й матрицы равна высоты столбца 2-й матрицы). Просто в ответе для 3Б получится ещё один лишний столбец справа. = = = . Для 3Б 1-я и 2-я строка умножаются не только на 1-й и 2-й, но ещё и на 3-й столбец. Дополнительно получаем = = . Выделим красным цветом новый столбец: Ответ. 8А: , 8Б: . Задача 9. Даны матрицы , , . Найти . Решение. Так как матрица С находится справа во всех слагаемых, то для удобства можно использовать приведение подобных = - тогда умножение надо будет проводить всего один раз, а не два. Сначала запишем . = = . Теперь умножим на матрицу С. Точно так же, как и в прошлом примере, мысленно обведём строку из 1-й матрицы на столбец из 2-й. Есть 4 варианта это сделать: = = = . Ответ. . Задача 10. Даны матрицы . Найти . Решение. = = . = = . Ответ. .
Задача 11. Найти произведение матриц . Решение. = = . Ответ. .
Задача 12. Даны матрицы: Найти . Решение. = = . Теперь поставим их наоборот, но при этом произведением будет уже не матрица 2 порядка, а матрица 3 порядка: теперь у первой 3 строки, но более коротких, а у второй 3 столбца. Вариантов умножить строку на столбец будет 9. = = . Ответ. , . Задача 13. Даны матрицы . Найти . Решение. = = . = = . Ответ. , . Задача 14. Дана матрица . Найти . Решение. Сначала умножим две, и найдём . = = . Теперь домножим ещё на одну матрицу А, чтобы найти . = = . Ответ. . Замечание. Несмотря на то, что в общем случае коммутативности по умножению матриц нет, но если матрица совпадает с матрицей , тогда . Например, в этой задаче, из-за ассоциативности, т.е. неважно, домножить третий раз слева или справа.
Домашняя. Найти для этой же матрицы. Замечание. Здесь есть 2 метода решения: либо умножить , полученную в прошлой задаче, ещё раз на , либо взять , полученную на первом этапе, и её умножить саму на себя. Ответ. . Задача 15. Найти произведение , где , , . Решение. Вычислим , сначала умножим первые две матрицы: = . Теперь умножим на третью матрицу. = . Ответ. . Замечание. Если вычислять , то получается точно такой же результат, т.к. выполняется закон ассоциативности.
Замечание. При умножении квадратной матрицы на вектор-столбец получается снова вектор-столбец, то есть квадратная матрица фактически выступает в роли функции, отображающей векторы в пространстве (или на плоскости, если n = 2).
Определители. Задача 16. = . Для параллелограмма, построенного на базе системы векторов (2,1) и (1,2), площадь равна 3. Если область 2’ перенести в область 2, то видно, что получается половина прямоугольника площади 2 (выделено жёлтым). То есть площадь равна 1. Аналогично 3’ в 3. Там тоже площадь 1. Кроме того, в центре квадрат площади 1.
Задача 17. Найти определитель . Решение. = . Ответ. 18.
Задача 18. Найти определитель Решение. Допишем копии первых двух столбцов, проведём 3 параллельных линии (главная диагональ и ещё две). Перемножим все эти тройки элементов и внесём в общую сумму с их исходным знаком. А вот для побочной диагонали и линий, ей параллельных, со сменой знака. = . Ответ. .
Задача 19. Найти определитель . Решение. То, что перемножено по зелёным линиям, включим в сумму со знаком плюс, а по красным - со знаком минус. = . Ответ. 5. Задача 20. Найти определитель . Решение.
. Ответ. 11. Задача 21. Найти определитель . Решение. . Ответ. . Задача 22. Найти определитель . Решение.
= . Ответ. . Задача 23. Вычислить определитель . Решение. Аналогичным методом, = . Ответ. 28. Задача 24. Вычислить определитель . Решение. Заметим, что 1-й и 3-й столбец содержат очень похожие группы элементов а именно 1 и 2. Вычтем из 1-го столбца 3-й, а затем разложим по 1-му столбцу. = = = . Ответ. 24. Задача 25. Вычислить определитель . Решение. = = = 50. Ответ. 50.
Задача 26. Найти параметр , при котором определитель равен 0: . Решение. Вычислим определитель и решим получившееся уравнение: , , , . Ответ. . Задача 27. Найти параметр , при котором определитель равен 6: . Решение. Вычислим определитель и решим получившееся уравнение:
Ответ. 4,2.
Задача 28. Найти объём тетраэдра, вершины которого A(1,1,1), B(2,1,3), C(2,2,4), D(1,2,4). Решение. Объём тетраэдра ровно в 6 раз меньше объёма параллелепипеда с рёбрами AB, AC, AD. Найдём эти векторы, и сначала вычислим объём параллелепипеда с помощью определителя, затем поделим на 6. AB = (1,0,2), AC = (0,1,3), AD = (1,1,3). = , . Ответ. Объём тетраэдра равен . Задача 29. Вычислить определитель с помощью разложения по первой строке. Решение. Выберем дополняющий минор для каждого элемента 1-й строки, и домножим на = = = 8. Ответ. 8. Задача 30. Вычислить определитель методом Гаусса (приведением к треугольной форме). Решение. Вычитаем из 2-й строки удвоенную 1-ю, и из 3-й 1-ю. = затем вычитаем из 3-й строки 2-ю. получили = 2. Ответ. 2.
Задача 31. Вычислить определитель . Решение. Прибавим 1-ю строку ко 2-й, 3-й и 4-й. . Эта матрица треугольная, определитель равен произведению чисел по диагонали, то есть 24. Ответ. 24. Задача 32 (а,б). Вычислить определитель 4 порядка двумя способами: а) разложением по 1-й строке. б) с помощью преобразований матрицы.
Решение. Первый способ. Разложение по 1-й строке:
Очевидно, что последние 2 минора 3-го порядка вычислять не надо, так как они умножаются на 0. Осталось вычислить два минора 3 порядка, то есть мы свели определитель 4 порядка к определителям 3 порядка. = . Ответ. 0. Второй способ. Из 2-го столбца вычтем 1-й
А теперь разложим по 1-й строке, причём реально для вычисления останется только один минор третьего порядка. . Теперь ко 2-й строке прибавим 1-ю а из 3-й вычтем утроенную 1-ю. А затем уже к 3-й строке прибавляем 2-ю. = = = 0 . Ответ. 0. Задача 33. Вычислить определитель . Решение. Можем разложить по 1-й строке (там всего 2 элемента отличны от 0). Но можно сначала упростить матрицу, а именно, отнять от 4 столбца 1-й столбец. Тогда в 1-й строке будет всего один ненулевой элемент. Также выносим из последнего столбца. = = = = = . Ответ. . Задача 34. Вычислить определитель . Решение. Наиболее удобно, если мы захотим применить метод Гаусса для упрощения матрицы, поставить число 1 в левый верхний угол. Сделаем это, поменяв местами 1 и 3 столбцы.
= Меняя местами два столбца, должны домножить на , что и сделано. Но теперь заметим ещё и тот факт, что в 4 стоке только отрицательные числа. Можно вынести коэффициент их этой строки, и знак перед всем выражением снова станет + Итак:
В последней строке всего 2 числа из 4-х отличны от 0. Вычтем из 1-го столбца второй, умноженный на 8, чтобы в последней строке оставить лишь одно число. А потом разложим по последней строке. = = а этот определитель уже вычислим обычным путём, например, допишем копии 1 и 2 столбцов. По зелёным линиям умножаем тройки чисел и не меняем знак, а по красным - меняем знак (изучали ранее этот метод). = = . Ответ. .
Обратная матрица. Формула вычисления элементов обратной матрицы: . Алгоритм нахождения . 1. Проверить невырожденность с помощью определителя. 2. Составить матрицу из дополняющих миноров Mij. 3. Изменить знаки в шахматном порядке, то есть домножить на (-1)i+j, где i,j - номера строки и столбца. 4. Транспонировать полученную матрицу. 5. Поделить на определитель исходной матрицы. Задача 35. Найти обратную матрицу для . Решение. 1). Проверяем определитель , так что обратная матрица существует. 2) Составляем матрицу из дополняющих миноров, то есть для каждой клетки вычёркиваем строку и столбец, остаётся подматрица порядка 1, то есть то число, которое напротив, как раз и является дополняющим минором. Получаем . 3) В шахматном порядке меняем знак там, где i+j нечётное. Тем самым, мы переходим от к . Получили . 4) Транспонируем эту матрицу. . 5) Определитель был равен 1. Делить на 1 не обязательно, можно автоматически считать, что уже и так разделили. Проверка: = = .
Минута теории. Докажем, что не существует различных матриц «обратной слева» и «обратной справа». Так как коммутативность в общем случае не выполняется, то вовсе не очевидно, что обратная матрица единственна, можно предположить, что левая обратная и правая обратная - различны. Докажем, что если и , то . Доказательство. Пусть и . По закону ассоциативности, можно записать такое равенство: . Но тогда получается , то есть .
Перейдём к задачам с матрицами 3 порядка. Задача 36. Найти обратную матрицу . Решение. Сначала ищем определитель. Так как матрица треугольная, то достаточно перемножить числа по диагонали. . Строим матрицу, состоящую из дополняющих миноров. Зачёркиваем ту строку и тот столбец, где находится элемент, и остаётся минор 2 порядка из 4 элементов. На схеме показано, что именно надо зачеркнуть:
= = . Теперь надо сменить знаки в шахматном порядке, т.е. переходим от миноров к алгебраическим дополнениям. Обведено красным, где надо менять знак. Ясно, что 0 остаётся 0, там знак менять нет смысла.
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (199)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |