Системы линейных уравнений
Задача 72. Решить систему линейных уравнений . Решение. А. Матричным методом. Запишем систему в виде: . Найдём обратную матрицу для А. .
= = = . Б. Методом Крамера. = = . Ответ. . Задача 73. Решить систему уравнений Решение. Построим расширенную матрицу и преобразуем её. чтобы обнулились коэффициенты ниже левого верхнего угла, то есть чтобы исчезла переменная из всех уравнений кроме первого, надо: а) из 2-й строки вычесть 1-ю; б) из 3-й строки вычесть удвоенную 1-ю. = Теперь, чтобы обнулить ниже чем , нужно к 3-й строке просто прибавить 2-ю, так как знаки там противоположны. При этом структуру из нулей, которые уже получились слева, мы на последующем шаге всё равно никак не испортим, ведь там к 0 будет прибавляться 0 либо вычитаться 0, то есть ступенчатая структура там уже всё равно будет сохраняться. = Когда в основной матрице уже получена треугольная структура, снова перепишем в виде системы В первом уравнении 3 неизвестных, а в каждом следующем всё меньше и меньше, а в последнем вообще только одна неизвестная. Именно этой цели мы и хотели добиться, приводя к треугольному виду: из последнего уравнения можно теперь сразу выразить . Затем с этой информацией мы поднимаемся в предпоследнее уравнение, где две неизвестных, впрочем, одна из них уже известна. . А теперь уже две последних неизвестных стали известны, и с этой информацией поднимаемся в 1-е уравнение, подставляя туда и . Итак, . Ответ. =2, =1, =1. Можно ответ записать и в виде вектора: .
Задача 74. Решить систему уравнений Решение. При построении расширенной матрицы, сразу же домножим 2-е и 3-е уравнения на такие коэффициенты, чтобы в начале строки были числа, кратные угловому элементу. А именно, 2-ю строку на 2, а 3-ю строку на 4. Так надо, чтобы потом в методе Гаусса можно было не домножать на дробные коэффициенты при вычитании строк.
Теперь вычтем из 2-й строки 1-ю, домноженную на 3, а из 3-й строки 1-ю, домноженную на 5. = Если теперь поменять местами 2 и 3 строки, получится: система: И хотя матрица не выглядит как матрица треугольного вида, тем не менее, основная идея метода Гаусса уже реализована: чем ниже, тем меньше переменных, а в последнем уравнении всего одна, а именно . Здесь тоже можно последовательно выразить все переменные, просто начинаем не с последней, а в другом порядке. К треугольному виду в этом случае можно до конца и не приводить. Итак, из третьего: , то есть . Подставляем во второе уравнение. , т.е. , . Из первого: , откуда , . Ответ. , , .
Задача 75. Решить систему уравнений Решение. Во-первых, можно всё 2-е уравнение сократить на 2, так удобнее для решения, числа будут меньше. Затем обнуляем ниже углового элемента: вычитаем из 2-го уравнения удвоенное 1-е, а также 3-го 1-е. = треугольная структура уже получилась. Перепишем снова в виде системы: из 3-го уравнения , подставляем во 2-е, там получается . А из 1-го . Ответ. , , .
Задача 76. Даны 3 вектора: . Доказать, что они образуют базис в пространстве, и найти новые координаты вектора . Решение. Вычисляя определитель, получим, что он отличен от 0. Затем ищем новые координаты вектора. система: Здесь удобнее получить треугольную структуру ниже не главной, а побочной диагонали. Ведь в третьем столбце все числа 1. . Система: . Из 3-го уравнения . Тогда из 2-го , а из 1-го уравнения: . Мы поочерёдно выразили их, начиная с 1-го а не последнего, так как нули ниже побочной, а не главной диагонали. Такая модификация метода Гаусса также возможна. Ответ. Координаты в новом базисе .
Неопределённые системы ( ). Задача 77. Решить неоднородную систему Решение. Запишем расширенную матрицу, вычтем из 2-й строки 1-ю. Здесь всего две строки, так что метод Гаусса проводится достаточно коротко.
Видим, что базисный минор можно выбрать в первых двух столбцах. Получается, что 3-я переменная свободная. Перепишем снова в виде системы, а не матрицы. переносим вправо: Выражаем , а затем поднимаемся в 1-е уравнение и ,через константы и . Впрочем, фактически и так уже выражено: . Подставим это выражение в 1-е уравнение , тогда общее решение системы: Также записывается в виде вектора: . Задавая какое-либо значение , всякий раз можем вычислить остальные переменные, и получить тройку чисел. Частные решения: (1,1,0) или (2,-1,1) или (3,-3,2) ... их бесконечно много. Ответ. Общее решение . Заметим, что разности любых двух частных решений здесь пропорциональны вектору . Вспомните в связи с этим факт, доказанный на лекциях: разность двух частных решений неоднородной системы является решением соответствующей однородной. Теперь можно увидеть это на практике, в конкретных задачах. Задача 78. Решить систему уравнений . Решение. Запишем расширенную матрицу и преобразуем её методом Гаусса: . Из 2-й строки отняли 1-ю, из 3-й удвоенную 1-ю. Замечаем, что 2 и 3 строка одинаковы, вычитаем из 3-й 2-ю, и 3-я строка получилась состоящей из 0. Это уравнение 0 = 0 , очевидно, его можно вычеркнуть. Базисный минор 2 порядка можно найти в левом верхнем углу. Здесь m = 3, n = 4, r = 2. Обратите внимание. Типичной и характерной ошибкой является то, что вычёркивают обе пропорциональных строки, а не одну. Но если провести алгоритм Гаусса до конца, то видно, что одна из них остаётся и несёт содержательную информацию, а её копия лишняя, она обратилась в 0. Не нужно торопиться и вычёркивать все пропорциональные строки, ведь хотя бы одна из них не лишняя! Развернём две оставшихся строки снова в систему уравнений:
Здесь перенесём вправо, 3-я переменная - свободная, базисный минор в левом углу. Замечание. Впрочем, это не единственный вариант: базисный минор можно составить из фрагментов 1 и 3 столбца, тогда была бы свободная. Итак, перенесём : Основная матрица системы фактически стала квадратной, 2 порядка, т.е. множество коэффициентов при базисных переменных образует такую квадратную матрицу: . Просто справа при этом не только константы, а составные выражения из констант и каких-то параметров. Видно, что уже и так выражена, . Подставим это выражение в 1-е уравнение, чтобы выразить отдельно через . в итоге . Итак, - общее решение. В нём есть один свободный параметр . Его можно записать также и в виде такого вектора: . Если задавать любое , будет получать тройки чисел, которые служат частными решениями. Например, при = 1 получим (1,1,1). При = 0 получим (0,3,0). Частных решений бесконечно много. Ответ. Общее решение . Задача 79. Решить неоднородную систему Решение. Построим расширенную матрицу и преобразуем её. = Это равносильно такой системе уравнений Базисный минор в первых двух столбцах, 3-й столбец соответствует свободной переменной , её надо перенести вправо. теперь надо выразить через . фактически и так уже почти выражено, во 2-м уравнении. . Подставим теперь эту информацию в 1-е уравнение. , откуда . Вот эти два выражения , как раз и составляют общее решение системы. Задавая любое значение , можно вычислить , и получится конкретная тройка чисел, то есть частное решение. Общее решение можно записать также в виде такого вектора: . Частные решения, например: частное решение . частное решение . Ответ. Общее решение . Задача 80. Решить неоднородную систему Решение. Запишем расширенную матрицу системы, впрочем, сразу при этом удобно будет поменять местами 1-ю и 3-ю строки, чтобы угловой элемент содержал именно число 1.
обнулим всё ниже углового элемента, для этого: из 2-й строки вычтем 1-ю, из 3-й удвоенную 1-ю, из 4-й 1-ю, домноженную на 4.
теперь можно поменять местами 2 и 3 строки, а также домножить на три последних уравнения (там почти везде были знаки минус)
затем из 4-й строки вычитаем 2-ю, чтобы продолжить стандартную процедуру метода Гаусса, потом видим что 3-я и 4-я стали одинаковы, тогда из 4-й вычитаем 3-ю. Получается, что 4-е уравнение 0 = 0.
Итак, осталось 3 уравнения, базисный минор легко заметить в первых трёх столбцах (там треугольная структура матрицы, и этот определитель явно отличен от 0). 4-й столбец не входит в базисный минор, то есть 4-я переменная свободная, т.е. когда будем записывать систему, переносим её через знак равенства во всех уравнениях.
Из последнего уравнения , подставляя это выражение во 2-е уравнение, выразим . = , . Далее из 1-го уравнения: = , . Итак, общее решение: , , . Можно записать в виде вектора: . Если задать, например, получим частное решение: . Ответ. Общее решение: .
Задача 85. Решить однородную систему, найти ФСР. Решение. Запишем основную матрицу системы и преобразуем её методом Гаусса.
Ранг матрицы равен 2, базисные столбцы 1-й и 2-й. Несмотря на то, что сначала могло показаться, что здесь будет одна свободная переменная (4 переменных и 3 уравнения), на самом деле здесь будет две свободных переменных, ведь 3-е уравнение оказалось линейной комбинацией первых двух. . Снова возвращаемся от матрицы к системе уравнений. перенесём свободные неизвестные вправо: из 2 уравнения , подставим это в 1-е, будет , то есть . Общее решение: , . В виде вектора: Построим ФСР из 2 векторов. , получим , получим . Так как здесь есть дроби, то для того, чтобы векторы в ФСР содержали только целые координаты, можно задавать не только 1, но и другое число, главное только чтобы в 3 и 4 координатах помещался невырожденный минор. Если мы задаём поочерёдно каждой свободной переменной какое-то число (не обязательно 1) а остальным 0, то линейная независимость этой системы векторов всё равно заведомо обеспечена. Ответ. Общее решение: , . ФСР из 2 векторов: .
Литература.
1. Л.И.Магазинников, А.Л. Магазинникова. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия. Учебное пособие. http://edu.tusur.ru/publications/2244
2. Л.И.Магазинников, А.Л.Магазинников. Дифференциальное исчисление. Учебное пособие. http://edu.tusur.ru/publications/2246
Все учебные пособия кафедры математики можно найти на сайте кафедры по ссылке: http://math.tusur.ru/book.html
Популярное: Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (211)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |