Элементы векторной алгебры.
Задача 58. Найти скалярное и векторное произведение векторов (1,1,1) и (1,2,3) . Решение. Скалярное . Векторное = = . Ответ. Скалярное 6, векторное (1,-2,1). Замечание. Можно проверить, что (1,-2,1) перпендикулярен исходным векторам (скалярно умножить на 1-й или на 2-й вектор, получим 0). Задача 59. Найти скалярное и векторное произведение векторов: и . Решение. . Для поиска векторого произведения запишем определитель. = = . Ответ. Скалярное: 16, векторное: (-13, -1, -8).
Задача 60. Дано: , , , , угол между векторами 45 градусов. Найти и . Решение. = = . Примечание. Как видим, можно вычислять скалярное произведение, даже не зная координат векторов. Здесь фактически служат в качестве базисных векторов, и через них выражены , то есть (1,1) и (2,1) координаты относительно базиса . Вся эта система целиком может двигаться или вращаться, но углы между векторами и их длины при этом не поменяются. Поэтому конкретных координат и нет, и они для решения задачи и не нужны. Пункт Б. = = = = = . Ответ. и .
Задачи 61,62,63. Векторы a,b выражены через p,r: , . , угол между ними 45 град. Задача 61. Найти . Задача 62. Найти | [a,b] |. Задача 63. Найти . Решение задачи 61. = = . Мы раскрыли скобки, используя свойства скалярного произведения. Далее, так как то объединим их, и получим . Это можно выразить так: и получаем . Ответ. 29. Решение задачи 62. = = Несмотря на то, что скобки мы раскрыли похожим образом, дальше будет существенное отличие, т.к. свойства векторного произведения совсем другие, чем скалярного. Так, , но . Кроме того, чтобы объединить в одно слагаемое, здесь надо сначала у одной из них сменить знак. = = = . Модуль векторного произведения и это площадь параллелограмма, где эти векторы являются сторонами, поэтому далее можно продолжить так: = = = 50. Ответ. 50. Решение задачи 63. = = = = = = = = 257. Ответ. 257.
Задача 64. Найти смешанное произведение трёх векторов: . Решение. Вычислим определитель: = = . Ответ. . Задача 65. Найти косинус угла между векторами . Решение. , , , учитывая что , то . Заметим, что , т.е. чуть меньше 1, угол близок к 0. Ответ. . Задача 66. Найти косинус угла между векторами . Решение. , , , учитывая что , то . Оценим приблизительно, какой это угол. Заметим, что если было бы то было бы и угол 600. В данном случае косинус чуть меньше, а значит угол чуть больше 600. Ответ. .
Задача 67. Вычислить площадь параллелограмма, образованного векторами , если , , угол между p,q равен . Решение. Площадь параллелограмма - значит, надо вычислить модуль векторного произведения = = = = = = = = 92. Ответ 92.
Задача 68 и 69. Векторы a,b выражены через p,q: , . , угол между ними 600. Задача 68. Найти . Решение. = = = = = = = 1227. Ответ. 1227. Задача 69. Найти | [a,b] |. Решение. | [a,b] | = | |= | | = | | = | | = = = . Ответ. .
Задача 70. Вывести формулу проекции вектора на ось . Решение. 1) известно, что . 2) длина проекции это катет, гипотенуза треугольника, тогда получается, что . Сопоставим эти 2 факта. , тогда , откуда и следует .
Задача 71. Найти проекцию вектора на линию, порождаемую вектором . Решение. По формуле = = = . Ответ. .
Популярное: Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (189)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |