Модель II . Модель Уилсона с ограничениями на складские помещения
Пусть торговое предприятие в течении периода времени Т должно завести и реализовать n видов товара. Соответственно обозначим: Ri - полный спрос i – го товара за время Т; C1i – стоимость хранения одной единицы i-го товара планируемом периоде времени; CSi - расходы по завозу одной партии i – го товара; Vi - объем складского помещения занимаемый одной единицей i –го товара. V - вся ёмкость складского помещения. Все эти значения считаются заранее известными. Неизвестный пока размер одной поставки i-го товара обозначим через qi, а через qio будем в дальнейшем обозначать оптимальный размер одной поставки i-го товара. Тогда в соответствии с (2) полные издержки по завозу и хранению i-го товара будут равны: а суммарные издержки по всем видам товара принимают вид: Далее Vi * qi – объем складских помещений, которые занимают i-ый вид товара, åVi qi - объем складских помещений, занимаемых всеми видами товара и должно выполняться очевидные соотношения, qi £ Ri, qi ³ 0 (30). Итак, приходим к следующей задаче Лагранжа: Найти минимум нелинейной функции (12) при линейных ограничениях (29) и (30). Функция Лагранжа рассматриваемой задачи (28) – (30) имеет вид: Функция Лагранжа (31) совпадает с целевой функцией (28) в случаи если в (31) или Следуя алгоритму решения задачи Лагранжа, найдем частные производные функции (31) по всем qi и прировняем их к нулю:
Каждое из уравнений системы (34) определяет соответствующее значение где в правой части все значения параметров известны за исключением множителя l. Для определения значения подставим выражения qi в условие (32). Получаем:
В соотношении (36) все величины, кроме l, заранее известны, т.е. оно является иррациональным уравнением с одним неизвестным. Его всегда можно разрешить относительно множителя l. Найдя значения l = l0, можно определить оптимальные величины поставок каждого из товаров по формулам: Теперь можно рассматривать конкретный пример. Пусть торговое предприятие намерено завести и реализовать товар трех видов (n = 3) объемами соответственно 24 тыс. ед, 20 тыс. ед. и 16 тыс. ед. Весь объем складских помещений составляет 18 000 куб. м. Стоимость хранения одной единицы первого вида товара 6 руб., второго – 8 руб., третьего – 10 руб. Расходы по завозу одной партии первого вида товара 1200 руб., второго – 1600 руб., третьего – 2000 руб. При этом одна единица первого вида товара занимает 3 куб. м., второго – 4 куб. м., третьего – 5 куб. м. Найти оптимальные размеры поставок каждого из видов товара. По условию имеем: R1 = 24000, R2 = 20000, R3 = 16000; C11 = 6, C12 = 8, C13 = 10; Cs1 = 1200, Cs2 = 1600, Cs3 = 2000; V1 = 3, V2 = 4, V3 = 5; V = 18000; Составляем уравнение вида (36) для определения значения множителя l;
или
откуда lо = - 2,41. Найдем величины оптимальных поставок каждого из товаров по формулам (37):
Проверим выполнимость условия (29) при найденных объемах оптимальных поставок. Должно выполняться: V1 * q1о + V2 * q2о + V3 * q3о £ V = 18000. Имеем: 3 * 1677 + 4 * 1531 + 5 * 1369 = 5031 + 6124 + 6845 = 18000. Выполнимость неравенства (29) служит подтверждением того, что объемы оптимальных поставок определены верно. Более того. Неравенство (29) в нашем примере выполнилось как равенство, что говорит о том, что при первом завозе товара все складские помещения будут заполнены максимально полно. С течением времени, при последующих завозах товара, картина будет конечно же не столь идеальной и какая та часть складских помещений будет не заполнена. Здесь можем заметить одну небольшую “уловку” в этом примере исходные данные в примере подобраны так, что иррациональное уравнение (*) вида (36) имеет во всех трех слагаемых один и тот же знаменатель, что конечно же упрощает решение уравнения. Эта “уловка” использована для облегчения рассмотрения примера, поскольку нашей главной целью в настоящий момент не является возможность разрешения иррационального уравнения. И тем не менее, возникает вопрос: а что же делать, когда при использовании этой модели на практике исходные данные будут таковы, что нашей “уловкой” воспользоваться будет невозможно. Ответ на этот вопрос достаточно прост: в современной математике разработаны десятки методов приближенных решений уравнений и потому значения множителя l можно определить из уравнения (36) приближенно с любой степенью точности. К тому же несмотря на нашу “уловку” облегчающую нахождения значения l, тем не менее мы определили его приближение. С учетом выше сказанного, можем прийти к выводу, что использованная “уловка” не сужается общностью рассмотрения модели. Рацион Робинзона
Обратимся теперь к задаче о потреблении примерно в таком виде, в каком ее ставил Госсен. Человек может потреблять блага n видов в количествах хi, i = 1, …, n. Общая полезность потребления i-того блага описывается функцией TUi(xi). Предельная полезность MUi(хi) = dTUi(хi)/dxi убывает с ростом хi - в этом состоит закон Госсена. Полезность потребления всех: благ суммируется по отдельным благам, так что Будем считать, опять-таки следуя Госсену, что потребительские возможности человека ограничены лишь временем, которое он может затачивать на добывание и потребление благ, как это имело место у Робинзона Крузо. Если на единицу i-того блага ему приходится тратить ti единиц времени, то ресурсное ограничение выражается равенством где Т — фонд времени, выделяемый на потребление благ. Задача рационального потребления теперь сводится к определению такого “рациона” - набора благ Х = (х1,…,хn), - который доставляет максимум TU(X) при ограничении (38). Лагранжиан этой задачи: . Условия оптимума выражается системой или Итак, предельные полезности различных благ в точке оптимума пропорциональны удельным затратам времени. Это значит, что для любой пары благ (i, j) отношение их предельных полезностей равно отношению удельных затрат времени: А отсюда следует, что дополнительная малая порция времени (скажем, минута), затрачиваемая на любое из благ, дает один и тот же прирост полезности. Величина этого прироста, определяется коэффициентом l: если Робинзон сможет выделить на потребление благ дополнительно ÙТ единиц времени, то общая полезность возрастет при этом на величину ÙTU » lÙT. (40) Заметим, что убывание предельной полезности гарантирует единственность оптимума. Если взять другие значения хi, (обозначим их хi'), также удовлетворяющие условиям, пропорциональности предельных полезностей удельным затратам времени: MUi(xi') = li' ti то либо l’ > l, тогда xi' < xi. для всех продуктов (предельная полезность убывает с ростом xi); либо l’ < l - для всех i. В первом случаи потребное количество времени меньше Т, во втором – больше, но ни в одном из них не ограничений будет выполнено. Попутно отметим следующее обстоятельство. Система уравнений (40) определяет наилучший набор благ при любом фиксированном количестве Т выделенного времени; с величиной Т связано лишь численное значение l. Считая величину Т переменной, введем как в предыдущем пункте, функцию. которую можно трактовать как общую полезность времени. Это – “вторичная” полезность: её величина определяется максимальной полезностью набора благ, достижимой при данном количестве выделенного времени. Точный смысл приближенного равенства (31) состоит в том что то есть l - предельная полезность времени для Робинзона. Как мы только что видели, сравнивая l и l' для различных наборов благ, чем больше Т, тем меньше l. Поскольку природа выделяемого ресурса несущественна, мы можем сделать следующий общий вывод: если предельная полезность каждого блага снижается с ростом объема его потребления, а затраты ресурса пропорциональны объему, то предельная полезность ресурса падает с увеличением количества используемого ресурса. Проиллюстрируем эти результаты числовым примером. Допустим, что Робинзон потребляет 3 вида благ, причем все частные функции полезности имеют один и тот же вид с различными коэффициентами ai. Он может выделить на потребление 15 часов в сутки; остальные данные приведены в таблице:
Воспользуемся системой (30): Отсюда Подставим числовые значения известных параметров: Используем теперь ресурсное ограничение: откуда l = 200 / (15 + 5) = 10. Теперь найдем количество каждого блага: Остальные результаты расчета приведены в таблице:
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (197)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |