На фигуре 1 изображен тетраэдральный элемент ijpm в системе координат x, y, z.

Перемещение любой точки определяется тремя компонентами u, v, w в направлениях координат x, y, z. Таким образом, вектор перемещений имеет вид

. (1)

Если для задания линейного закона изменения какой-либо величины в плоском треугольном элементе требовались три узловых значения, то в трехмерном случае необходимо задать четыре узловых значения. По аналогии с представлением (4.3) можно записать, например,

. (2)

Приравнивая эти выражения перемещением узловых точек, получаем четыре уравнения типа

 и т.д. (3)

из которых определяются коэффициенты .

Запишем теперь соотношение (2) в следующей форме, с использованием определителя

 (4), где

 (5а)

Величина V в данном случае представляет собой объем тетраэдра. Коэффициентами  обозначены определители

 (5б)

Остальные коэффициенты получаются циклической перестановкой индексов i, j, p, m.

Как видно из фигуры 1, узлы i, j, p, m пронумерованы в соответствии с правилом правой руки, причем первые три узла пронумерованы по часовой стрелке, если смотреть со стороны последнего узла.

Перемещение элемента определяется двенадцатью компонентами перемещений его узлов:

 (6) где

 и т.д.

Перемещение произвольной точки можно записать в виде

 (7)

где скалярные величины определяются соотношениями

и т.д.

А I - единичная матрица размерности 3*3.

Ясно, что эти функции перемещений будут удовлетворять требованиям непрерывности на границах между элементами. Этот результат является прямым следствием линейного закона изменения перемещений.

Матрица деформации

В трехмерном случае учитываются все шесть компонент деформации. Используя известные обозначения Тимошенко, запишем матрицу деформаций в виде

 (9)

С помощью соотношений (4) - (7) легко убедиться, что

 (10) где

. (11)

Остальные подматрицы получаются простой перестановкой индексов.

Начальные деформации, такие, как обусловленные тепловым расширением, можно записать обычным образом в виде шестикомпонентного вектора, имеющего, например, для изотропного теплового расширения простой вид:

 (12)

где  - коэффициент линейного расширения, а - средняя по элементу температура.

Матрица упругости

В случае материала с изотропией свойств матрица [D], связывающая шесть компонент напряжения с компонентами деформации, может содержать не более чем 21 независимую постоянную.

В общем случае

. (13)

Так как такое умножение никогда не выполняется в явном виде, запишем здесь матрицу [D] только для изотропного материала, хотя это нетрудно сделать и для случая произвольной анизотропии. При использовании обычных упругих постоянных: модуля упругости Е и коэффициента Пуассона v - матрица имеет вид

 (14)