Метод огибающих. Комплексные линейные фильтры

Приведем некоторые, необходимые для дальнейшего сведения, относящиеся к методу огибающих. Согласно методу огибающих комплексная амплитуда V(t) сигнала на выходе узкополосной линейной системы выражается через комплексную амплитуду U (t) входного сигнала следующим интегральным соотношением:

(3.83)

где Н (t) — комплексная огибающая импульсной переходной характеристики системы. Выражение (3.83) является комплексным аналогом интеграла свертки (3.3) (интеграла Дюамеля). В частном случае, когда входной сигнал точно настроен на среднюю частоту системы и имеет лишь амплитудную модуляцию , а импульсная переходная характеристика системы не имеет фазовой модуляции , огибающие в выражении (3.83) будут вещественными:

В этом случае формула свертки для амплитуд отличается от формулы свертки для мгновенных значений лишь множителем 1/2.Следует отметить, что равенство (3.83) является приближенным. Однако погрешностью метода огибающих можно пренебречь, если функции U (t) и V(t) медленно меняются по сравнению с cosω₀t. Это условие выполняется, если ширина спектра колебания u(t), ширина полосы пропускания линейной системы, на которую оно воздействует, и расстройка частоты входного сигнала по отношению к средней частоте системы малы по сравнению с частотой ω₀. Абсолютные значения полосы и расстройки роли не играют. Если функции U(t) и Н(t) имеют односторонние или двусторонние ограничения по времени, то пределы в интеграле изменятся. В частности, если U(t)=0 при t<0 и узкополосная система физически осуществима (Н(t)=0 при t<0), то

(3.84)

Если же импульсная переходная характеристика системы имеет конечную длительность (или допускает аппроксимацию функцией, ограниченной во времени), то

(3.85)

где Т - длительность импульсной переходной характеристики.

Существенным достоинством формулы комплексной свертки (3.83) является то, что она позволяет при линейных преобразованиях высокочастотных процессов оперировать лишь с их медленно меняющимися законами модуляции практически без потери точности и информации, заключенной в высокочастотных колебаниях. При этом несущая частота, не содержащая информации, исключается из рассмотрения. В этом и состоит сокращение избыточности при использовании метода огибающих.

 Комплексную свертку (3.83) можно рассматривать как описание поведения так называемого линейного комплексного фильтра, преобразующего комплексный сигнал U(t) в комплексный сигнал V(t), при этом Н⁰(t) = 1/2H(t)—импульсная переходная характеристика комплексного фильтра. В операторной форме процесс комплексной фильтрации можно записать в виде

где U (р) и V(р) - изображения по Лаплас у входного и выходного комплексных сигналов соответственно; К (р) - передаточная функция комплексного фильтра

[изображение по Лапласу функции Н°(t)]. Комплексный сигнал U(t) имеет вполне определенный физический смысл, если его рассматривать как пару вещественных сигналов:

,

представляющих собой вещественную и мнимую части комплексного сигнала (квадратурные компоненты сигнала). Представляя выходной комплексный сигнал V(t) и импульсную переходную характеристику Н°(t) комплексного фильтра в виде квадратурных компонент, запишем формулу (3.83) в виде

Отсюда

(3.86)

или в операторной форме

(3.87)

где U₁(p), U₂(p), V₁(р), V₂(p) — изображения по Лапласу квадратурных компонент входного и выходного сигналов соответственно; K₁(p) и К₂(р)— передаточные функции линейных фильтров с импульсными переходными характеристиками H₁(t) и H₂(t), соответственно. Огибающая и фаза колебания u(t) выражаются через его квадратурные компоненты известными формулами

Система уравнений (3.87) легко приводится к матричной форме

(3.88)

Из соотношений (3.86) — (3.88) следует, что комплексный фильтр является частным случаем двумерного линейного вещественного фильтра. Если в общем случае элементы передаточной матрицы

двумерного линейного фильтра могут быть произвольными, то элементы передаточной матрицы комплексного фильтра обладают свойством симметрии:

Структурная схема двумерного фильтра, эквивалентного комплексному фильтру, показана на рис. 3.4. Такой двумерный фильтр называется фильтром с антисимметричными прямыми перекрестными связями. В дальнейшем мы будем пользоваться в основном комплексной формой записи, переходя к вещественной лишь на последних этапах. Комплексная форма записи узкополосной фильтрации по методу огибающих предпочтительнее, чем матричная форма записи, так как первая полностью совпадает с обычной формой записи одномерной вещественной фильтрации. Использование ее позволяет обобщить данные выше методы цифрового моделирования линейных динамических систем на случай моделирования узкополосных линейных систем, описываемых по методу огибающих.

Рис. 3.4.