Дискретной комплексной свертке

     Рассмотрим наиболее распространенный случай, когда импульсная переходная характеристика системы имеет одностороннее или двустороннее ограничение. Подвергнув формулы (3.84), (3.85) дискретизации, используя при этом, как и ранее, методы численного интегрирования, получим следующие алгоритмы вычисления дискретных значений комплексной огибающей на выходе системы:

(3.89)

(3.90)

где Δt — шаг дискретизации; N=T/Δt, c₀[k] — коэффициенты, зависящие от метода численного интегрирования; Н[k] = Н(kΔt ) —дискретные значения комплексной огибающей импульсной переходной характеристики системы; U[n]— дискретные значения комплексной огибающей входного сигнала;

Величина шага Δt в формулах (3.89), (3.90) определяется величиной верхней частоты в спектре модуляции высокочастотных колебаний, а не в спектре самих высокочастотных колебаний, как это было бы без привлечения метода огибающих. Это обычно дает возможность значительно увеличить шаг дискретизации и тем самым сократить вычислительные затраты.

Замена непрерывных сверток (3.84) и (3.85) дискретными свертками (3.89) и (3.90) соответственно означает замену непрерывных комплексных фильтров эквивалентными дискретными комплексными фильтрами с передаточными функциями

(3.91)

(3.92)

     Отличие формул (3.91) и (3.92) от формул (3.14) и (3.15) состоит лишь в том, что коэффициенты перед z^k в формулах (3.91) и (3.92) являются, вообще говоря, комплексными.

Структурные схемы фильтров с передаточными функциями (3.15) и (3.92) одинаковы (см. рис. 2.1). Процесс дискретной комплексной фильтрации дискретного сигнала U[n] фильтром с передаточной функцией (3.92) в соответствии с рис. 2.1 состоит в следующем.

Последовательность комплексных чисел U[n], порождаемая непрерывной комплексной огибающей входного сигнала, поступает на линию задержки с N отводами, задержка между которыми равна Δt. Отводы линии задержки подключены к весовым усилителям с комплексными коэффициентами усиления а[k]. Выходы весовых усилителей суммируются, в результате чего образуется последовательность комплексных чисел V[n], представляющая собой дискретные значения комплексной огибающей выходного сигнала. Такая схема вычислений может быть реализована в виде стандартной программы. Операции сложения и умножения комплексных чисел осуществляются на ЦВМ по стандартной подпрограмме.

Вычисления в соответствии с алгоритмом (3.90) можно проводить и без привлечения операций над комплексными числами. Для этого нужно выразить дискретные комплексные огибающие через дискретные квадратурные компоненты в виде

(3.93)

     где  - дискретные значения квадратурных составляющих входного и выходного сигналов соответственно; ;  - дискретные квадратурные составляющие импульсной переходной характеристики.

     Последнее означает замену дискретного комплексного фильтра двумерным вещественным дискретным фильтром с передаточной матрицей

где .

     Структурная схема этого двумерного дискретного фильтра показана на рис. 3.5. Она является эквивалентом схемы рис. 3.4 так же, как и формулы (3.93) являются дискретным эквивалентом формул (3.86).

Из (3.93) видно, что осуществление дискретной комплексной свертки при прочих равных условиях требует в общем случае в четыре раза больше операций, чем осуществление вещественной дискретной свертки. В частных случаях количество операций может быть меньшим. Так, если φ_h(t)=0 (в этом случае узкополосная система имеет, как известно, линейную фазовую характеристику), то  и, следовательно,

(3.94)

При этом в двумерном дискретном фильтре на рис. 3.5 отсутствуют перекрестные связи. Операций здесь только вдвое больше по сравнению с вещественной сверткой.

Рис. 3.5.

Столько же операций требуется, если входной сигнал промодулирован лишь по амплитуде и не имеет расстройки (φ_u(t)=0):

(3.95)

В этом случае сигнал U₂[n] на втором входе двумерного фильтра на рис. 3.5 равен нулю. Если одновременно выполняются два указанных условия, то

(3.96)

В этом случае свертка огибающих является вещественной, и двумерный фильтр превращается в одномерный. В некоторых случаях для вычислений удобна тригонометрическая форма записи комплексной свертки (3.90) в виде

(3.97)

Если использовать метод дискретизации комплексной свертки, основанный на принципе замены непрерывного комплексного фильтра эквивалентным импульсным фильтром, то по аналогии с дискретизацией вещественной свертки  получим алгоритмы вида (3.89)-(3.90) с той лишь разницей, что вместо весовой функции a[k] будет использоваться весовая функция Н_*[k] - дискретная импульсная переходная характеристика приведенной непрерывной части комплексного фильтра. Тогда

(3.98)

(3.99)

Из формул (3.98), (3.99) можно легко получить алгоритмы, аналогичные алгоритмам (3.93) - (3.97), заменив в последних а₁[k], a₂[k] и а[k] на  ; соответственно.