Понятие устойчивости в формулировке А.М.Ляпунова
Лекция 10. Понятие устойчивости. Работа А.М.Ляпунова «Общая задача об устойчивости движения»
Основы современной теории устойчивости были заложены великим русским математиком и механиком Александром Михайловичем Ляпуновым (1857 - 1918) в его знаменитой докторской диссертации «Общая задача об устойчивости движения», впервые опубликованной в 1892 году. До сих пор идеи этой работы питают математиков и позволяют получать ценные новые результаты в области теории устойчивости. Понятие устойчивости в формулировке А.М.Ляпунова Максвелл, Вышнеградский и Стодола не дали точного определения устойчивости. Под устойчивостью систем автоматического регулирования (машина-двигатель + регулятор) в практическом смысле понималось следующее: 1) при отсутствии заметного внешнего воздействия (нагрузка на машину заметно не изменяется) регулируемая величина (частота вращения) либо не изменяется, либо изменяется незначительно, оставаясь при этом в некоторых допустимых пределах; 2) при применении к системе внешнего воздействия (изменение нагрузки) регулируемая величина через некоторое время принимает новое (в случае статического регулятора) значение и в дальнейшем не изменяет своего значения, либо изменяет незначительно, оставаясь в допустимых пределах (в случае применения астатического регулятора регулируемая величина должна вернуться к прежнему значению); 3) при снятии внешнего воздействия (возвращения к прежней нагрузке) регулируемая величина принимает прежнее значение. Под неустойчивостью (опять же в практическом смысле) понималось: при отсутствии заметного внешнего воздействия регулируемая величина самопроизвольно изменяется, достигая недопустимых для эксплуатации значений. Всему этому требовалось дать строгое определение, что и было сделано Ляпуновым. Рассмотрим автономную (отсутствуют внешние возмущающие воздействия, но существуют ненулевые начальные возмущения – начальные отклонения переменных состояния от равновесия), динамическую систему
(6.1)
Уравнения (6.1) описывают возмущенные движения системы (в отличие от представленных моделей Максвелла, Вышнеградского и Стодолы данная модель предполагается нелинейной). Однако у системы есть невозмущенное движение (состояние равновесия), которое математически записывается в следующем виде
. (6.2)
Состояние равновесия может быть устойчивым или неустойчивым. Ляпунов дает следующее строгое (научное) понятие устойчивости (неустойчивости) состояния равновесия (6.2) динамической системы (6.1): 1) невозмущенное движение (состояние равновесия) называется устойчивым (по Ляпунову) относительно переменных , если для любого заданного положительного числа , как бы мало оно ни было, можно подобрать другое положительное число , зависящее от , такое, чтобы при возмущениях, удовлетворяющих неравенствам
(6.3)
соответствующее этим возмущениям решение (движение) для любого удовлетворяло бы неравенствам
; (6.4)
2) если же упомянутое число подобрать невозможно, то состояние равновесия (6.2) неустойчиво; 3) если можно подобрать упомянутое число такое, чтобы из условий (6.3) при выполнении (6.4) дополнительно выполнялись бы условия
, (6.5)
то невозмущенное движение называется асимптотически устойчивым. Примечание. Фразу: «…положительное число , зависящее от …» следует понимать, как то, что положительное число всегда меньше положительного числа как бы мало оно (число ) ни было.
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (330)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |