Некоторые приложения уравнения Бернулли

Особенности расположения молекул в жидкости

 Жидкость - одно из трёх агрегатных состояний вещества (не считая 4-го состояния, называемого "плазма" – вещество, частицы которого ионизированы). Все агрегатные состояния различаются организацией молекул. В отличие от твёрдого (кристаллического) состояния, характерного строго упорядоченным расположением частиц вещества (кристаллическая решётка), в жидкости нет дальнего (распространяющегося на весь кристалл) порядка расположения атомов (молекул). Для организации молекул жидкости характерен недолговечный "ближний порядок", при котором молекулы группируются небольшими "коллективами", причём время жизни молекулы в данном "коллективе" очень непродолжительно (~10^-11с). Затем происходит переход из одного "коллектива" в другой.

Жидкое состояние является промежуточным между твёрдым и газообразным состоянием вещества. Расстояние между молекулами в газах во много раз превышает размеры молекул. В жидкости же молекулы размещены вплотную друг к другу, со средним расстоянием между их центрами d порядка размера молекулы (d »10¸100 Å; где Å – ангстрем, 1 Å =10^{-10 м}). Поэтому, плотности жидкостей на несколько порядков больше плотностей газов, и почти не отличаются от плотностей твёрдых тел. Более того, плотность металлов при плавлении уменьшается в среднем на 3%.

Основные свойства жидкостей:

1)текучесть;объясняется преимущественными переходами молекул из одного "коллектива" в другой в направлении действия внешней силы (например, силы тяжести); если внешние силы скомпенсированы, то переходы молекул из одного положения равновесия ("коллектива") в другое происходят с одинаковой частотой и жидкое тело сохраняет свою форму;

2) несжимаемость (по сравнению с газами); объясняется достаточно плотным расположением молекул в жидкости. Примеры: а) удар молотом по полому металлическому ядру, заполненному жидкостью Þ поверхность ядра покрывается "испариной"; б) "потение" цилиндров гидравлических машин; в) на глубине »1 км в море, где давление достигает 100 атмосфер, плотность воды увеличивается всего на 0,5%.

Идеальная жидкость

Идеальной называют абсолютно несжимаемую жидкость, молекулы которой не притягиваются друг к другу.

                   4.2.1. Уравнение неразрывности струи

Линии тока – линии, касательные к которым в каждой точке потока совпадают с направлением скорости  частиц жидкости. Линии тока не пересекаются между собой (иначе получилось бы, что в точке их пересечения частица жидкости имеет два направления движения). Значит, жидкость не проникает сквозь поверхность, образованную линиями тока.    

Трубка тока - объём жидкости, ограниченный линиями тока. Рассмотрим такую трубку тока идеальной жидкости, в произвольном поперечном сечении которой скорость  частиц жидкости одинакова. Выберем два любых сечения такой трубки тока: , характеризуемое скоростью , и , характеризуемое . Так как идеальная жидкость несжимаема, а её поток неразрывен и не проходит через боковую поверхность трубки, то за время  через оба сечения пройдут одинаковые объёмы V жидкости:

   = , т.е.  =  .        (*)

Выражение (*) называют уравнением неразрывности струи; оно хорошо применимо не только для каналов с вязкой жидкостью, но и с газом.

Вывод: при сужении канала скорость течения жидкости в нём увеличивается, при расширении - уменьшается.

4.2.2. Уравнение Бернулли (1738 г., Швейцария)

Выделим в ламинарном (не имеющем вихрей) потоке идеальной жидкости наклонную трубку тока, а в ней область, ограниченную сечениями S₁ и S₂. Определим изменение механической энергии , происходящее в этой области за . За это время в выделенную область втекает масса жидкости, ограниченная сечениями S₁  и вытекает - . Тогда:

                   .       

В силу непроницаемости для жидкости стенок трубки тока, имеем = . Тогда можно записать: 

DW=  +  - .    (**)

Но, согласно закону сохранения энергии,  равно работе Авнешних сил (давления)  и  по перемещению массы жидкости  внутри выделенного объёма: А = А₁ + А₂, где А₁ = ,А₂ =  (знак ‘-‘ учитывает тот факт, что сила  направлена навстречу потоку жидкости). Учитывая, что (где р - давление), получим :

-  = ,  (***)

DV

DV

Приравняв (**) и (***), получим:                                             

+ + =  + + .

Разделив обе части последнего уравнения на и учтя, что (плотность), получим:  

 + + =  + + .

Так как сечения  S₁иS₂ были выбраны произвольно, то:

Уравнение Бернулли

   + + р = const                           

О физическом смысле слагаемых, входящих в уравнение Бернулли:  - кинетическая энергия единицы объёма жидкости;  - потенциальная энергия единицы объёма жидкости в гравитационном поле планеты; р - потенциальная энергия единицы объёма жидкости, обусловленная силами внешнего давления.

С другой стороны, так как единицы измерения всех слагаемых уравнения - Па(скаль), то эти слагаемые можно рассматривать и как давления: - динамическое (обусловленное движением жидкости), - весовое (обусловленное гравитационным притяжением жидкости к Земле), р– статическое, равное внешнему давлению, оказываемому на жидкость (например, давление поршня или атмосферы).

Вывод: в установившемся потоке жидкости сумма всех видов давления в любом поперечном сечении потока неизменна.     

4.3.3. Частные случаи применения уравнения Бернулли

1) Горизонтальная труба переменного сечения  (h₁=h₂, S₁¹S₂).

В этом случае уравнение Бернулли принимает вид:                                                                                              

 =  .                                                                     

Так как модуль скорости  зависит от площади поперечного сечения S, то величину Sможно выбрать столь малой, что динамическое давление  значительно возрастёт, а статическое давление р станет меньше атмосферного р_о,и такая труба начнёт всасывать воздух, т.е. в сужениях (где скорость увеличивается) горизонтального канала статическое давление понижается. На этом принципе работают водоструйные насосы, ингаляторы, пульверизаторы.

2) Измерение скорости жидкости трубкой Пито.

Давления на входных отверстиях прямой и изогнутой трубок отличаются на величину динамического давления , которое уравновешивается дополнительным гидростатическим давлением более высокого столба жидкости . Из равенства  =  получим:  = .

3) Истечение жидкости из отверстия. Формула Торричелли.

Так как >> , то, в силу уравнения неразрывности струи, <<  и можно положить . Кроме того, учтём, что внешнее (атмосферное) давление на уровнях 1и 2практически одинаковое, т. е. . Тогда из уравнения Бернулли имеем:  =  + , откуда получаем формулу Торричелли: = = , согласно которой скорость вытекающей струи равна скорости свободно падающего с высоты Dh тела.

Некоторые приложения уравнения Бернулли

1.Гидротурбина.Потенциальная энергия практически покоящейся в водохранилище воды переходит в кинетическую энергию быстрой струи, вращающей турбину и сопряжённый с ней ротор электрогенератора.

  

 

 

2.Гидротаран. При опускании заслонки динамическое давление в канале падает до нуля, поэтому статическое давление резко возрастает, перегоняя часть жидкости, текущей по трубе, в расположенный вверху резервуар. Таким образом, работа по перегону жидкости в резервуар совершается за счёт поставщика жидкости.

Примеры(гашения) гидротарана: 1) в крупных трубопроводах винтовые краны (а не поворотные, как у самовара); 2) изгибы магистральных трубопроводов (для уменьшения кинетической энергии перегоняемой по ним жидкости).

3. Водоструйный насос. Создаёт разрежение в откачиваемом сосуде до 90Па.

4. Подъёмная сила крыла самолёта. В 1904 году русским инженером Николаем Егоровичем Жу ковским был предложен изображённый на с.52 рисунке профиль поперечного сечения крыла самолёта. При таком профиле крыла распределение скорости воздуха вокруг него можно представить как циркулирующий поток. В результате, над крылом скорость надвигающегося на самолёт воздушного потока складывается со скоростью циркуляции, а под крылом - вычитается. Различие скоростей воздушной струи под и над крылом порождает разность статических давлений, направленную снизу вверх и создающую подъёмную силу

5. Аэрация почвы после вспашки. Воздушные потоки над неровной поверхностью земли образуют трубки тока переменного сечения, что приводит к периодическим вариациям статического давления в них и образованию вертикальных вихрей, обогащающих почву кислородом.

6. "Кручёный мяч" в футболе(эффект Магнуса). Удар по мячу наносят в точку, смещённую от его центра,  в  результате

мяч приобретает не только поступательное, но и вращательное движение. Слои воздуха, прилегающие к мячу, увлекаются им. Поэтому справа от мяча результирующая скорость воздуха меньше, чем , а слева – больше; статическое же давление, в соответствии с уравнением Бернулли, наоборот, справа от мяча больше, а слева – меньше.