Метод наименьших квадратов
Запишем сумму квадратов отклонений (4.6) для всех точек x0, x1,…, xn: (4.11) Параметры a0, a1,…, am эмпирической формулы (4.11) будем находить из условия минимума функции S = S(a0,a1,…,am). В этом состоит метод наименьших квадратов. В теории вероятностей доказывается, что полученные таким методом значения параметров наиболее вероятны, если отклонения εi подчиняются нормальному закону распределения (определение нормального закона см. в приложении в конце текста). Поскольку здесь параметры a0, a1,…, am выступают в роли независимых переменных функции S, то ее минимум найдем, приравнивая нулю частные производные по этим переменным: , , ..., (4.12) Полученные соотношения – система уравнений для определения a0, a1,…, am. Рассмотрим применение метода наименьших квадратов для частного случая, широко используемого на практике. В качестве эмпирической функции рассмотрим многочлен . (4.13) Формула (4.11) для определения суммы квадратов отклонений S примет вид . (4.14) Для составления системы уравнений (4.12) найдем частные производные функции S = S(a0,a1,…,am): , , .................................................................. . Приравнивая эти выражения нулю в соответствии с уравнениями (4.12) и собирая коэффициенты при неизвестных a0, a1,…, am, получаем следующую систему уравнений: , , ........................................................... (4.15) . Решая эту систему линейных уравнений, получаем коэффициенты a0, a1,…, am многочлена (4.13), которые являются искомыми параметрами эмпирической формулы. Систему (4.15) можно записать в более компактном виде: , , ............................................ (4.16) ; (4.17) Пример. Используя метод наименьших квадратов, вывести эмпирическую формулу для функции y=f(x), заданной в табличном виде:
Решение. Если изобразить данные табличные значения на графике (см. рис.4.1), то легко убедиться, что в качестве эмпирической формулы для аппроксимации функции y=f(x) можно принять параболу, т. е. квадратный трехчлен: . (4.18) Рис. 4.1 В данном случае имеем m=2, n=4, и система уравнений (4.16) примет вид , , (4.19) . Коэффициенты этой системы могут быть вычислены по формулам (4.17), где i = 0, 1, 2, 3, 4: , , , , , , . Система уравнений (4.19) запишется в виде , , . Отсюда находим значения параметров эмпирической формулы: . Таким образом, получаем следующую аппроксимацию функции, заданной в табличном виде: . (4.20) Оценим относительные погрешности полученной аппроксимации в заданных точках, т. е. найдем значения . Результаты вычислений представим в виде таблицы
На рис. 4.2 построен график найденной эмпирической формулы. Точками нанесены заданные табличные значения функции. Рис.4.2 Как видно из рассмотренного примера, некоторые коэффициенты системы (4.19) равны: . Из формул (4.17) нетрудно увидеть, что равны все коэффициенты bkl при k+l=const..
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (509)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |