Моделирование гармонического сигнала.

Создать и изобразить сигнал s(t). Рассчитать коэффициенты разложения в ряд Фурье.

Моделирование гармонического сигнала.

В общем виде простейший гармонический сигнал можно представить как

,

где А – амплитуда сигнала [Вольт, Ампер и др.],

      – круговая частота, f – частота в Гц,

      t – переменная времени, с.

В качестве примера создадим 3 простых синусоидальных сигнала с разными значениями A и f. 

1) А1 = 1 В, f1 = 1 Гц

Рисунок 1 - Сигнал signal_1(t)

       На рисунке 1 показан простейший гармонический синусоидальный сигнал. Его амплитуда меняется в пределах [-1,1]. Частота составляет 1 Гц – это значит, что форма сигнала полностью повторяет 1 раз за 1 секунду.

2) А2 = 4 В, f2 = 2 Гц

       Рисунок 2 - Сигнал signal_2(t)

       На рисунке 2 показан сигнал, амплитуда которого изменяется в пределах [-4,4]. Частота колебаний составляет 2 Гц – 2 раза в секунду.

3) А3 = 3 В, f3 = 5 Гц

Рисунок 3 - Сигнал signal_3(t)

На рисунке 3 показан сигнал, амплитуда которого изменяется в пределах [-3,3]. Частота колебаний составляет 5 Гц – 5 раз в секунду.

Теперь просуммируем построенные три сигнала. Получим сигнал s ( t ), который будем использовать для дальнейшего выполнения Лабораторной работы.

Рисунок 4 - Сигнал s(t)

       Отметим, что частота полного повторения колебания сигнала составляет 1 Гц – минимальное значение частоты трех синусоид, из которых складывается s ( t ). Соответственно период Т = 1 с.

2.2. Рассчитать коэффициенты разложения в ряд Фурье – a_n, b_{n ,} A_n.

Начать выполнение задания рекомендуется с изучения курса лекций. Документ «01-1 Глава3 Анализ детерменированных сигналов» прилагается. Пункты 3.2 «Представление произвольного сигнала в виде суммы элементарных колебаний. Обобщенный ряд Фурье» и 3.3 «Гармонический анализ периодических сигналов» являются базовой теорией для всего курса МОБС. Все формулы необходимо понимать, знать наизусть. Это необходимо для защиты данной Лабораторной работы и сдачи экзамена по предмету.

Коэффициенты a_n и  b_b рассчитаем по формуле (3.36) лекций:

Выведем в виде матрицы полученные коэффициенты:

       Используя представление сигнала в виде ряда Фурье (формула 3.35) и рассчитанные коэффициенты, изобразим полученный результат.

Рисунок 5 – Результат представления исходного сигнала в виде ряда Фурье

       Наглядно видно, что разные представления одного и того же сигнала s(t) абсолютно идентичны между собой (рисунок 4 и рисунок 5).

       Теперь рассчитаем коэффициенты C_n и A_n. Воспользуемся формулой для коэффициентов ряда Фурье (3.26).

       Выведем в виде матрицы полученные коэффициенты C_n , а также их абсолютное значение |C_n |, являющееся спектром сигнала s(t). На рисунке 6 показано его графическое отображение.

Рисунок 6 – Спектр сигнала s(t)

       Коэффициенты А_n и советующее им разложение сигнала можно получить по формулам (3.32-3.35) лекций.

       Вопросы к разделу 1.

1. Почему столбец коэффициентов a_n получился нулевым? Какие по номеру коэффициенты b_n получились ненулевыми? Почему значение именно этих коэффициентов отличается от нуля?

2. Почему все значения столба коэффициентов C_n комплексные? Какие значения для соответствующих n имеет |C_n |? Почему именно эти значения?

3. Какая взаимосвязь между коэффициентами a_n, b_n ,C_n , A_n?