Цель работы: знакомство с двумя основными задачами динамики материальной точки.
Задача Д1: вычислить и построить траекторию движения материальной точки массой 1 кг под действием силы , проекции которых на оси и и начальные условия представлены в табл. Д1.1 и Д1.2.
Указания: задача Д1 на интегрирование дифференциальных уравнений движения точки. Решение задачи имеет следующие этапы: составление дифференциальных уравнений, вычисление общего интеграла, нахождение закона движения материальной точки с использованием начальных условий, определение траектории точки, построение траектории точки на чертеже.
Пример Д1: вычислить и построить траекторию движения материальной точки массой 1 кг под действием силы F, проекции которой на оси и соответственно равны: 0 и (H), используя начальные условия: М0 (1;4), V0= .
Таблица Д1.1
(предпоследняя цифра зачетной книжки)
Таблица Д1.2
(последняя цифра зачетной книжки)
№ пп
Проекция силы на ,
№ пп
Проекция силы на ,
0
0
0
3
0
1
2
1
0
0
2
1
0
4
2
0
-2
1
2
1
0
3
0
2
1
3
1
0
4
0
1
2
4
2
2
3
5
0
-1
1
5
2
6
4
6
0
2
3
6
1
1
7
0
1
-2
7
2
0
8
0
2
-4
8
0
6
9
0
5
-1
9
2
3
2
Решение:
1. По второму закону Ньютона проекция силы на равна произведению массы материальной точки на вторую производную от по времени ; т. к. =1кг, имеем . Интегрируя это дифференциальное уравнение, получим , где и - постоянные интегрирования. Подставив начальные условия ( ) в данные уравнения, найдем и закон изменения абсциссы материальной точки:
.
2. По второму закону Ньютона проекция силы на равна т. е. .
Интегрируя это дифференциальное уравнение, получим:
, где и - постоянные интегрирования. Подставив начальные условия ( ) в данные уравнения, найдем и закон изменения ординаты материальной точки:
.
3. Таком образом, уравнение движения материальной точки .
Для получения траектории следует из данных уравнений исключить параметр t:
.
4. Построим данную кривую:
Y
M0
0
X
Ответ: .
Лабораторная работа №4.
Колебательное движение материальной точки.
Цель работы: приобретение теоретических знаний о колебательном движении материальной точки над действием силы, пропорциональной расстоянию.
Задача Д2: груз массой m присоединили к концу недеформированной пружины и отпустили без начальной скорости, в результате чего он стал совершать колебательные движения. При статическом равновесии длина пружины изменилась на . Определить, используя данные в таблице Д2 и на рис. Д2.0-Д2.9:
1. Уравнение движения груза
2. Амплитуду и период колебания
Трением и массой пружины пренебречь.
Таблица Д2.
Последняя цифра зачетной книжки
№ пп
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
m, кг
2
3
1
4
2
3
5
1
3
2
, см
10
20
15
30
10
15
10
20
30
25
Указания: задача Д2 относится к колебанию материальной точки. Для его решения необходимо: составить дифференциальное уравнение 2-го порядка, проинтегрировать данное уравнение, учтя начальные условия.
Предпоследняя цифра зачетной книжки
Рис. Д2.0
45°
Рис. Д2.1
60°
Рис. Д2.2
45°
Рис. Д2.3
Рис.Д2.4
45°
Рис. Д2.5
30°
Рис. Д2.6
Рис. Д2.7
45°
Рис. Д2.8
30°
Рис. Д2.9
Пример Д2: груз массой 1 кг присоединили к концу недеформированной пружины и отпустили без начальной скорости, в результате чего он стал совершать колебательные движения. При статическом равновесии пружина удлинилась на 10 см. определить:
1. Уравнение движения груза;
2. Амплитуду и период колебания;
Трением и массой пружины пренебречь.
Решение:
Отметим на рисунке Д2 положения: недеформированной пружины (1), груза, в котором он остановится при статическом равновесии (2),груза в произвольный момент времени. Направим ось по наклонной плоскости. За начало отсчета т.О примем положение груза при статическом равновесии.
Y
s w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">
0
X
На груз действуют силы: s w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> – сила тяжести, s w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> – нормальная реакция опоры, – сила упругости пружины. Дифференциальное уравнение движения груза имеет вид , где , C – коэффициент жесткости пружины, – удлинение пружины. Таким образом, уравнение движения примет вид
;
.
В этом уравнении нам известен параметр С. Чтобы его найти, рассмотрим груз в положении статического равновесия ( ):
, откуда
.
Подставляя значения С, m, P в наше дифференциальное уравнение движения груза, получим: . Это линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Решается с помощью соответствующего характеристического уравнения: .
Общее решение данного уравнения имеет вид
,
Где С1 и С2 постоянные интегрирования. Для вычисления С1 и С2 найдем и используем начальные условия
,
.
Таким образом, уравнение движения груза имеет вид
Амплитуда колебания
Период колебания T найдем по формуле – период косинуса:
2019-11-20
213
Обсуждений (0)
, проекции которых на оси 
и 
и начальные условия представлены в табл. Д1.1 и Д1.2.
и 
(H), используя начальные условия: М0 (1;4), V0= 
.
, 
, 
по времени 
; т. к. 
=1кг, имеем 
. Интегрируя это дифференциальное уравнение, получим 
, где 
и 
- постоянные интегрирования. Подставив начальные условия ( 
) в данные уравнения, найдем 
.
т. е. 
.
, где 
) в данные уравнения, найдем 
.
.
.
.
. Определить, используя данные в таблице Д2 и на рис. Д2.0-Д2.9:
Y
– сила тяжести, s w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> 
– нормальная реакция опоры, 
, где 
, C – коэффициент жесткости пружины, 
– удлинение пружины. Таким образом, уравнение движения примет вид
;
.
): 
, откуда
.
. Это линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Решается с помощью соответствующего характеристического уравнения: 
.
,
и используем начальные условия 
,
.
– период косинуса: 
; 
.