Векторная алгебра и аналитическая геометрия.
Методические указания к выполнению контрольных работ по математике для студентов 1 курса, обучающихся по заочной форме обучения
Москва 2019
Векторная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве I. Векторы на плоскости Нахождение координат вектора Пусть вектор задан двумя точками: и тогда координаты вектора находятся по формуле:
То есть из конца вектора (координаты точки ) вычитается начало вектора (координаты точки ) с координатами соответственно. Длина вектора a) если вектор задан двумя точками и с координатами , то длина вектора находится по формуле:
б ) если вектор задан координатами = (a 1 , a 2), то длину вектора можно найти по формуле:
Нахождение координат середины отрезка Если точка имеет координаты (x a , ya ), а точка B (x b , yb ), то координаты середины отрезка АB можно найти по формулам:
где точка О середина отрезка АВ, то есть , иимеет координаты (x0 , y 0 ). Скалярное произведение векторов Если вектор задан координатами (x 1 ; y 1), а вектор - (x 2 ; y 2), то скалярное произведение векторов находим по формуле:
где φ – угол между векторами > Угол между векторами Пусть заданы два вектора и , тогда угол между векторами можно получить по формуле:
где . Формула 1.6 является следствием формул 1.5 и 1.3 Проекция одного вектора на другой вектор Пусть вектор задан координатами (x 1 ; y 1), а вектор - (x 2 ; y 2), тогда проекцией вектора на вектор называется отрезок, который можно найти по формуле:
II. Прямая на плоскости Общее уравнение прямой
Вектор с координатами (А,В) – нормальный вектор, т. е. вектор перпендикулярный данной прямой. Уравнение прямой, проходящей через точку и перпендикулярной вектору
где (А;В) – вектор нормали, или по другому нормальный вектор, M0(x0,y0) – точка лежащая на прямой, а (x,y) – координаты любой точки лежащей на данной прямой. Уравнение прямой проходящей через две точки Пусть заданы две точки M0(x0,y0) и M1(x 1 , y 1), тогда
где (x , y)-координаты любой точки, лежащей на прямой Каноническое уравнение прямой
Уравнение прямой в отрезках Если прямая не проходит через начало координат, то ее можно записать в виде:
прямая отсекает от осей координат прямоугольный треугольник с катетами a и b, где знак величин a и b показывает в какой четверти находится треугольник. Например, на рисунке 2.5: a >0, b<0 отсеченный треугольник находится в четвертый четверти. Параметрическое уравнение прямой На прямой за начало отсчета выберем точку M0(x0,y0), t-параметр, единица деления шкалированной прямой.
где координаты направляющего вектора Нормальное уравнение прямой
где – единичный вектор нормали, то есть , , а - расстояние от начала координат до заданной прямой. α, β - углы между вектором нормали и осями координат Расстояние от точки до прямой
III. Векторы в пространстве
Нахождение вектора Пусть вектор задан двумя точками: А (х1, у1, z 1) и В (х2, у2, z 2) Тогда координаты вектора можно найти по формуле:
Длина вектора а) если вектор задан двумя точками: А (х1, у1,z1) и В (х2, у2,z2) Тогда длину вектора можно найти по формуле:
б) если вектор задан координатами = (a 1 , a 2 , a 3), то длину вектора можно найти по формуле:
Нахождение координат середины отрезка Если точка A имеет координаты , а точка B - , то координаты середины отрезка АB можно найти по формулам:
Скалярное произведение векторов Если вектор задан координатами (x 1 ; y 1 ), а вектор - (x 2 ; y 2 ), то скалярное произведение векторов находим по формуле:
Угол между векторами Пусть заданы два вектора и тогда угол между векторами можно получить по формуле:
Проекция одного вектора на другой вектор
Векторное произведение векторов Даны два вектора a и b.
- образуют правую тройку векторов Буквой X или квадратными скобками обозначается векторное произведение двух векторов. Результатом такого произведения является вектор c, который перпендикулярен обоим заданным векторам ( a и b ). Кроме этого, длина полученного вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на заданных векторах ( a и b ). Координаты векторного произведения (вектора с) можно вычислить по формуле:
Смешанное произведение векторов
IV. Плоскость в пространстве Общее уравнение плоскости
где A, B, C, D – координаты вектора нормали, причем хотя бы одно из чисел A, B, С отлично от нуля, (x;y;z) - координаты любой точки на плоскости.
Уравнение плоскости проходящей через точку и перпендикулярной вектору
Уравнение плоскости, проходящей через три точки M0 (x0,y0,z0), M1 (x1,y1,z1), M2 (x2,y2,z2)
Уравнение плоскости в отрезках Если плоскость не проходит через начало координат, то ее уравнение можно представить в следующем виде:
Нормальное уравнение плоскости
где – нормальный единичный вектор с координатами: ( , , ), где , , , Расстояние от точки до плоскости Пусть задано уравнение плоскости Ax + By + Cz + D =0 и точка не лежащая на данной плоскости. Тогда расстояние от точки до плоскости находится по формуле
V. Прямая в пространстве Прямая в пространстве характеризуется точкой на прямой и вектором, параллельным прямой, т.е. направляющим вектором. Направляющий вектор, если он не задан явно, можно получить с применением формул. Ниже приведены некоторые виды прямой в пространстве. Уравнение прямой проходящей через две точки Пусть заданы две точки M0(x0,y0) и M1(x 1 , y 1), тогда
где (x , y , z) - координаты любой точки, лежащей на прямой Каноническое у равнение прямой
где, M 0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) – лежащая точка на прямой L . ( l , m, n) – координаты направляющего вектора q прямой L.
Параметрическое уравнение прямой На прямой за начало отсчета выберем точку M0(x 0 ; y 0 ; z 0), t-параметр, единица деления шкалированной прямой.
где ( l , m, n) координаты направляющего вектора Уравнение прямой, как пересечение двух плоскостей
Популярное: Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (174)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |