При ответе в задании № 3 учащийся решает одну из предложенных задач, выбранных комиссией.

При ответе в задании № 4 учащийся решает одну из задач по собственному выбору.

Комплект билетов по геометрии для выпускников 9 классов

Билет № 1

1. Углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой и их свойства.

2. Треугольник: определение и виды. Теорема косинусов. Теорема синусов (доказательство по выбору учащихся)

3.1. Найдите диагонали равнобедренной трапеции, основания которой равны 4 см и 6 см, а боковая сторона равна 5 см.

3.2. В рав­но­бед­рен­ном треугольнике . Най­ди­те , если вы­со­та .

3.3. Диагональ AC па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD об­ра­зу­ет с его сто­ро­на­ми углы, рав­ные 30° и 45°. Най­ди­те боль­ший угол параллелограмма.

4.1. Отрезки и  лежат на параллельных прямых, а отрезки   и   пересекаются в точке . Найдите , если , , .

4.2. Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку E . Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма.

Билет № 2

1. Смежные и вертикальные углы: определение и свойство.

2. Параллелограмм. Формулы площади параллелограмма. Вывод формулы площади параллелограмма (одной по выбору учащегося).

3.1. Углы АDC и ABC вписаны в окружность. Какой может быть величина угла ADC, если известно, что <ABC = 56°?

3.2. Найдите острый угол параллелограмма , если биссектриса угла   образует со стороной   угол, равный 41°. Ответ дайте в градусах.

3.3. В тре­уголь­ни­ке ABC AB = BC = 53, AC = 56. Най­ди­те длину ме­ди­а­ны BM.

4.1. Катеты прямоугольного треугольника равны 18 и 24. Найдите высоту, проведѐнную к гипотенузе.

4.2. Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 20, BD = 10.  Докажите,что треугольники и подобны.

Билет № 3

1. Взаимное расположение прямых. Параллельные и перпендикулярные прямые: определение и свойства.

2. Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора (доказательство).

3.1. Найдите площадь круга, если длина окружности равна 8π см.

3.2. Биссектриса равностороннего треугольника равна . Найдите сторону этого треугольника.

3.3. В тре­уголь­ни­ке ABC AC = BC. Внеш­ний угол при вер­ши­не B равен 146°. Най­ди­те угол C. Ответ дайте в градусах.

4.1. Прямая, параллельная стороне  треугольника , пересекает стороны    и   в точках   и   соответственно. Найдите , если , .

4.2. В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы BCA и BDA равны. Докажите, что углы ABD и ACD также равны.

Билет № 4

1. Треугольник: определение и виды. Равные треугольники (определение). Признаки равенства треугольников.

2.  Трапеция: определение и виды. Вывод формулы площади трапеции.

3.1.  Величины углов АВС и КВС относятся как 7 : 3, а их разность равна 72°. Могут ли эти  углы быть смежными?

3.2. В треугольнике известно, что , . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

3.3. В тре­уголь­ни­ке угол равен 90°, . Най­ди­те .

4.1.  Точка  является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла   треугольника   к гипотенузе . Найдите , если , .

4.2. Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, делит её на две равные по площади части.

Билет № 5

1. Параллелограмм: определение, свойства и признаки.

2. Теорема Фалеса (доказательство).

3.1. В равностороннем треугольнике АВС проведена высота BD. Найдите углы треугольника ABD.

3.2. Точка D на сто­ро­не AB тре­уголь­ни­ка ABC вы­бра­на так, что AD = AC. Известно, что

       ∠CAB = 80° и ∠ACB=59∘. Най­ди­те угол DCB. Ответ дайте в градусах.

3.3. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке катет , а вы­со­та , опу­щен­ная на гипотенузу, равна Най­ди­те .

4.1. Прямая, параллельная основаниям трапеции , пересекает еѐ боковые стороны  и  в точках  и  соответственно. Найдите длину отрезка , если , , .

4.2. Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AB и CD четырёхугольника пересекаются в точке M . Докажите, что треугольники MBC и MDA подобны.

Билет № 6

1. Вектор. Длина (модуль) вектора. Координаты вектора. Равенство векторов.

2. Равнобедренный треугольник. Свойство медианы равнобедренного треугольника, проведенной к основанию (доказательство).

3.1. В остроугольном равнобедренном треугольнике угол между основанием и высотой, проведенной к боковой стороне, равен 34°. Найдите углы этого треугольника.

3.2. Один угол па­рал­ле­ло­грам­ма в два раза боль­ше другого. Най­ди­те мень­ший угол. Ответ дайте в градусах.

3.3. Найдите пло­щадь пря­мо­уголь­но­го треугольника, если его катет и ги­по­те­ну­за равны со­от­вет­ствен­но 12 и 13.

4.1.  Найдите боковую сторону  трапеции , если углы  и  равны соответственно  и , а .

4.2. Высоты AA₁ и BB₁ остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке E . Докажите, что углы AA₁ B₁ и ABB₁ равны.

Билет № 7

1. Прямоугольник: определение и свойства.

2. Средняя линия треугольника. Теорема о средней линии треугольника (доказательство).

3.1.  Найдите сторону ромба, если известно, что его диагонали равны 24 см и 32 см.

3.2. Разность углов, при­ле­жа­щих к одной сто­ро­не параллелограмма, равна 40°. Най­ди­те мень­ший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

3.3. В тре­уголь­ни­ке угол равен 90°, . Най­ди­те .

4.1. Биссектрисы углов  и  параллелограмма  пересекаются в точке, лежащей на стороне . Найдите , если .

4.2. Точка E — середина боковой стороны AB трапеции ABCD . Докажите, что площадь треугольника ECD равна половине площади трапеции.

Билет № 8

1. Ромб: определение и признаки.

2. Треугольник: определение и виды. Теорема о сумме углов треугольника (доказательство).

3.1.  Найдите длину окружности, если известно, что площадь круга равна 18π см².

3.2. Катеты прямоугольного треугольника равны 8 и 15. Найдите гипотенузу этого треугольника.

3.3. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 23°. Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах.

4.1. Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 15, а одна из диагоналей ромба равна 60. Найдите углы ромба.

4.2. Биссектрисы углов и параллелограмма ABCD пересекаются в точке E стороны BC .Докажите,что E —середина BC .

Билет № 9

1. Внешний угол треугольника: определение и свойство.

2. Ромб. Свойства диагоналей ромба (доказательство одного из них по выбору учащегося).

3.1. Найдите число сторон выпуклого многоугольника, сумма внутренних углов которого равна 4320°.

3.2. В треугольнике известно, что , , угол равен 90°. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

3.3. Сумма двух углов рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равна 140°. Най­ди­те боль­ший угол трапеции. Ответ дайте в градусах.

4.1. Высота  ромба  делит сторону  на отрезки  и . Найдите высоту ромба.

4.2. В треугольнике ABC с тупым углом ACB проведены высоты AA₁ и BB₁ . Докажите, что треугольники A1CB1 и ACB подобны.

Билет № 10

1. Подобные треугольники (определение). Признаки подобия треугольников.

2. Теорема о сумме углов выпуклого n-угольника (доказательство).

3.1. Найдите медиану, проведенную к гипотенузе прямоугольного треугольника, если известно, что его катеты равны 8 см и 6 см.

3.2. Найдите мень­ший угол рав­но­бед­рен­ной трапеции, если два ее угла от­но­сят­ся как 1:2. Ответ дайте в градусах.

3.3. Девочка про­шла от дома по на­прав­ле­нию на запад 340 м. Затем по­вер­ну­ла на север и про­шла 60 м. После этого она по­вер­ну­ла на во­сток и про­шла ещё 420 м. На каком рас­сто­я­нии (в метрах) от дома ока­за­лась девочка?

4.1. Биссектрисы углов  и  при боковой стороне  трапеции  пересекаются в точке . Найдите , если , .

4.2. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке O . Докажите, что площади треугольников AOB и COD равны.

Билет № 11

1. Медиана, биссектриса и высота треугольника: определения и свойства.

2. Ромб. Вывод формулы площади ромба.

3.1. В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса 4 см. Найдите периметр этого треугольника, если известно, что его гипотенуза равна 26 см.

3.2. Основания тра­пе­ции равны 4 см и 10 см. Диа­го­наль трапеции делит сред­нюю линию на два отрезка. Най­ди­те длину боль­ше­го из них.

 3.3. Человек ро­стом 1,8 м стоит на рас­сто­я­нии 12 м от столба, на ко­то­ром висит фо­нарь на вы­со­те 5,4 м. Най­ди­те длину тени че­ло­ве­ка в метрах.

4.1. Отрезки и  являются хордами окружности. Найдите длину хорды , если , а расстояния от центра окружности до хорд  и  равны соответственно 12 и 5.  

4.2. Докажите, что медиана треугольника делит его на два треугольника, площади которых равны между собой.

Билет № 12

1. Синус и косинус острого угла прямоугольного треугольника: определение, значения некоторых углов (30°, 45° и 60°).

2. Равнобедренный треугольник. Свойство углов при основании равнобедренного треугольника  и признак равнобедренного треугольника (доказательство по выбору учащихся).

3.1.  Короткое плечо шлаг­бау­ма имеет длину 1 м, а длин­ное плечо – 3 м. На какую вы­со­ту (в метрах) опу­стит­ся конец ко­рот­ко­го плеча, когда конец длин­но­го плеча под­ни­ма­ет­ся на 1,8 м?

3.2. Най­ди­те угол АDС рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ABCD, если диа­го­наль АС об­ра­зу­ет с ос­но­ва­ни­ем ВС и бо­ко­вой сто­ро­ной АВ углы, рав­ные 30° и 40° со­от­вет­ствен­но.

3.3. Сторона AC тре­уголь­ни­ка ABC про­хо­дит через центр опи­сан­ной около него окружности. Най­ди­те ∠C , если ∠A = 44°. Ответ дайте в градусах.

4.1. Углы  и  треугольника  равны соответственно  и . Найдите , если радиус окружности, описанной около треугольника , равен 8.  

4.2. Окружности с центрами в точках О₁ и О₂  пересекаются в точках A и B , причём точки О₁ и О₂ лежат по одну стороны от прямой AB . Докажите, что AB  и О₁ О₂ перендикулярны.

Билет № 13

1. Угол между векторами. Скалярное произведение векторов: определение и свойства.

2. Формулы площади треугольника. Вывод формулы площади треугольника через две стороны и угол между ними.

3.1.  Короткое плечо шлаг­бау­ма имеет длину 1 м, а длин­ное плечо – 3 м. На какую вы­со­ту (в метрах) опу­стит­ся конец ко­рот­ко­го плеча, когда конец длин­но­го плеча под­ни­ма­ет­ся на 1,8 м?

3.2. К окруж­но­сти с цен­тром в точке О про­ве­де­ны ка­са­тель­ная AB и се­ку­щая AO. Най­ди­те ра­ди­ус окружности, если AB = 12 см, AO = 13 см.

3.3. Най­ди­те пло­щадь ромба, если его диа­го­на­ли равны 14 и 6.

4.1.  Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся, как 6:7:23. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон треугольника равна 12.

4.2. Биссектрисы углов B и C трапеции ABCD пересекаются в точке O , лежащей на стороне AD . Докажите, что точка O равноудалена от прямых AB , BC и CD .

Билет № 14

1. Тангенс острого угла прямоугольного треугольника: определение, значения некоторых углов (30°, 45° и 60°).

2. Центральный и вписанный углы. Свойство вписанного угла окружности.

3.1. Точки A и B делят окруж­ность на две дуги, длины ко­то­рых относятся как 9:11. Най­ди­те величину цен­траль­но­го угла, опи­ра­ю­ще­го­ся на мень­шую из дуг. Ответ дайте в градусах.

3.2. Периметр ромба равен 40, а один из углов равен 30°. Най­ди­те пло­щадь ромба.

3.3. Лестница со­еди­ня­ет точки A и B и со­сто­ит из 35 ступеней. Вы­со­та каж­дой сту­пе­ни равна 14 см, а длина — 48 см. Най­ди­те рас­сто­я­ние между точ­ка­ми A и B (в метрах).

4.1.  Окружность, вписанная в треугольник , касается его сторон в точках ,  и . Найдите углы треугольника , если углы треугольника  равны ,  и .

4.2. Через точку пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая,пересекающая стороны AB и CD в точках P и T соответственно.Докажите,что BP = DT .

Билет № 15

1. Окружность (определение). Центр, радиус, хорда, диаметр окружности. Взаимное расположение окружности и прямой. Касательная к окружности: определение и свойства.

2. Трапеция. Средняя линия трапеции. Свойство средней линии трапеции (доказательство).

3.1. В равностороннем треугольнике проведены две медианы. Найдите величину острого угла, образовавшегося при их пересечении.

3.2. Точка О — центр окруж­но­сти, ∠AOB = 84° (см. ри­су­нок). Най­ди­те ве­ли­чи­ну угла ACB (в гра­ду­сах).

3.3. От стол­ба вы­со­той 9 м к дому на­тя­нут провод, ко­то­рый кре­пит­ся на вы­со­те 3 м от земли. Рас­сто­я­ние от дома до стол­ба 8 м. Вы­чис­ли­те длину провода.

4.1.  Точка   является основанием высоты , проведенной из вершины прямого угла  прямоугольного треугольника . Окружность с диаметром  пересекает стороны  и  в точках   и соответственно. Найдите , если .

4.2. На сто­ро­не АС тре­уголь­ни­ка АВС вы­бра­ны точки D и E так, что от­рез­ки AD и CE равны. Оказалось, что от­рез­ки BD и BE тоже равны. Докажите, что тре­уголь­ник АВС — равнобедренный.