Расчет электрических цепей, основанный на применении уравнений Кирхгофа

Обычно заданными являются величины и направления всех ЭДС источников напряжения и внутренних токов источников тока и зна­чения всех внутренних и внешних сопротивлений или проводимостей цепи, а определяют токи и по ним – напряжения ветвей. Поэтому число неизвестных равно числу р ветвей схемы и, следовательно, столько же независимых уравнений нужно составить по первому и второму законам Кирхгофа,

Так как при составлении уравнений необходимо учесть направле­ния всех токов, то направлениями токов следует задаться. Применяя первый закон, токи, приходящие к узлу и уходящие от него, следует брать с разными знаками. Применяя второй закон, ЭДС и токи, направления которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода контура, следует считать имеющими положительный знак, остальные – отри­цательный.

Уравнения, составленные по первому закону Кирхгофа для цепи с q узлами, будут независимыми лишь для  узлов, так как урав­нение для последнего узла является следствием предыдущих. Следовательно, по второму закону Кирхгофа надо составить  независимых уравнений. Если в цепи присутствуют ветви с источниками тока, количество уравнению по второму закону Кирхгофа , где s – количество ветвей, содержащих источники тока.

Пример составления системы уравнений.

Изображенная на рисунке цепь имеет  ветвей,  узла и  элементарных контура.

Решая систему уравнений любым известным из алгебры способом, находят все неизвестные токи ветвей. Отрицательный знак указывает на то, что действительное направление тока обратно выбранному направлению.

Достоинством рассмотренного метода является его общность, а недостатком – громоздкость решения системы, состоящей из боль­шого числа уравнений. Поэтому кроме непосредственного использо­вания уравнений по законам Кирхгофа применяются специальные методы расчета сложных цепей: либо упрощающие их схемы (методы наложения и эквивалентного источника энергии), либо уменьшающие число неизвестных (методы контурных токов и узловых напряжений).

МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА

Метод контурных токов

Метод основан на том, что каждому независимому контуру приписывается некоторый контурный ток, который замыкается по этому контуру.

Обычно в ка­честве независимых контуров используются элементарные контуры, при этом всем контурным токам придается одно и то же направление, совпадающее с на­правлением обхода, например по часовой стрелке. Эти контурные токи становятся основными неизвестными задачи, на основе которых определяются реальные токи ветвей.

Контурные токи, проходящие также по внешним ветвям, являются для этих ветвей реально существующими, например ток  контура А. Контур­ные токи внутренних контуров, нап­ример ток  контура В, являются фиктивными величинами, введенными для удобства расчетов. Реальные токи внутренних ветвей можно найти как разность токов двух контуров, в ко­торые входит эта ветвь. Например, для тока  ветви с  выбранное направление тока совпадает с , тогда

.

Взятая по направлению обхода алгебраическая сумма всех ЭДС, входящих в контур, называется контурной ЭДС, сумма всех сопротивлений контура называется контурным сопротив­лением. Так, для контуров А и В контурные ЭДС и сопротив­ления, соответственно, имеют вид:

Сопротивление общей ветви двух контуров называется общим сопротивлением, например,

.

Тогда вместо уравнения по второму закону Кирхгофа для контура А можно написать:

.

В это уравнение члены с контурным сопротивлением входят с положительным знаком, члены с общим сопротивлением – с отрицательным.

Если в каком-либо контуре нет источников ЭДС, в правую часть соответствующего уравнения надо подставить нуль. Если два контура не имеют общей ветви, то их общее сопротивление также равно нулю.

Таким образом, вместо системы из р уравнений по первому и второму законам Кирхгофа, по методу контурных токов составляется система из  уравнений по второму закону Кирхгофа. Так, для цепи, изображенной на рисунке, вместо шести уравнений (двух по первому и четырех по второму законам Кирхгофа) по методу контурных токов составляется следующая система из четырех уравнений:

После определения контурных токов находят действительные токи ветвей.

       Если в схеме имеются источники тока, то независимый контур следует выбирать таким образом, чтобы каждый источник тока входил только в один контур, тогда контурный ток в этом контуре будет равен току источника.