Электрические цепи синусоидального тока

Получение синусоидальных напряжений и токов.

Для получения синусоидальных переменных токов в линейных цепях э. д. с. также должны изменяться по синусоиде.

Простейшим генератором синусоидальной э. д. с. может служить прямоугольная катушка, вращающаяся с постоянной угловой скоростью в однородном магнитном поле вокруг оси, перпендикулярной к направлению линий магнитной индукции. При этом пронизывающий катушку магнитный поток изменяется, и в ней по закону электромагнитной индукции индуктируется э. д. с. Цепь нагрузки подключается к генератору с помощью щеток, наложенных на два кольца, соединенных с катушкой.

Пусть в начальный момент времени  плоскость катушки будет перпендикулярна магнитным линиям. Тогда магнитный поток, пронизывающий катушку, будет иметь максимальное (амплитудное) значение Ф_m. Если угло­вая скорость вращения катушки с числом витков w равна ω, то в момент времени t катушка окажется повернутой на угол ,и мгновенные зна­чения ее потока и потокосцепления будут равны  и .

Тогда мгновенное значение э. д. с. катушки

.

Временные диаграммы

Синусоидально изменяющуюся во времени величину, например ток, имеющий амплитуду (максимальное значение)  и период повторения Т, можно записать в виде:

Аргумент синусоидальной функции называют фазовым углом, или фазой:

.

Угловая частота ωопределяет скорость изменения фазового угла: ,рад/с. Угловая частота связана с периодом Т ичастотой f соотношением . При фиксированной частоте ω синусоидальную фун­кцию удобно строить в зависимости от переменной , измеряе­мой в радианах.

Начальная фаза  есть значение фазового угла при t = 0.

На временной диаграммеположительная начальная фаза откладывается от начала координат влево, т. е. в сто­рону отрицательных значений ,а отрицательную начальную фазу следует откладывать в сторону положительных значений .

При совместном рассмотрении двух синусоидальных функций одной час­тоты разность их фаз, равную раз­ности их начальных фаз, часто называют углом сдвига и обычно обозначают φ. Так, разность фаз ЭДС  и тока  или, иначе, угол сдвига кривой тока относительно кривой ЭДС будет . Если синусоидальные функции одной частоты имеют одинаковые начальные фазы, то говорят, что они совпадают по фазе, а если разность их фаз равна ,то говорят, что они проти­воположны по фазе.

Векторные диаграммы

       Такое изображение можно рассматривать не только как источник дополнительной информации о цепи, но и непосредственно использовать для решения некоторых задач. Рассмотрим, как можно применить вращающийся вектор для изображения синусоидальной ЭДС .

Возьмем прямоугольную систему осейNOMи условимся откладывать положительные углы против направления часовой стрелки.

Расположим под углом  к оси ON вектор ОА, длина которого в выбранном масштабе равна амплитуде ЭДС . Будем вращать этот вектор в положительном направлении с постоянной угловой скоростью, равной угловой частоте ω. По истечении промежутка времени t вектор ОА повернется на угол  и составит с осью ON угол . Тогда величина его проекции на ось OM в принятом масштабе даст значение ЭДС для момента времени t: .

Полный цикл изменений ЭДС получится за один полный оборот вектора ОА.

Таким образом, можно условиться изображать синусоидальную функцию вектором, длина которого определяется ее амплитудным значением, а направление – ее начальной фазой, при этом положитель­ная начальная фаза откладывается от горизонтальной оси в сторону вращения векторов. В результате получается векторная диаграмма.

Векторные диаграммы особенно удобны при сложении или вычита­ний синусоид одинаковой частоты, Как известно, результатом будет также синусоида той же частоты. При сложении нескольких синусоид нужно складывать их мгновенные значения, т_; е. проекции векторов, изображающих эти синусоиды, но так как сумма проекций векторов на какую-либо ось равна проекции геометрической суммы этих векторов на ту же ось, то эта геометриче­ская сумма и будет вектором, изображающим результирующую сину­соиду. Длина вектора даст амплитуду ре­зультирующей синусоиды, угол с горизон­тальной осью – ее начальную фазу.

Параметры цепей переменного тока

1. Пусть через активное сопротивление протекает синусо­идальный ток

, тогда

Следовательно, в цепи с сопротивлением r напряжение и ток совпа­дают по фазе. .

2. Пусть через индуктивное сопротивление протекает синусо­идальный ток

, тогда

Следовательно, в цепи с индуктивностью L напряжение опережает ток по фазе на 90°. .

 – индуктивное сопротивление (x – обозначает реактивное сопротивление в отличие от активного r).  учитывает реакцию самоиндукции (ЭДС самоиндукции, возникающей в катушке при протекании синусоидального тока).

3. Пусть через емкостное сопротивление протекает синусо­идальный ток

, тогда

Следовательно, в цепи с емкостью С напряжение отстает от тока по фазе на 90°. .

 – емкостное сопротивление (тоже реактивное), учитывающее реакцию емкости на протекание переменного тока.

Действующие и средние значения периодических ЭДС и токов

Так как тепловое действие тока пропорционально квадрату этого тока, то о величине периодических токов и ЭДС в технике обычно судят по их средним квадратичным значениям за полный период.

Понятие о среднем квадратичном значении можно получить, рассматривая тепловое действие тока. Пусть сопротивление цепи, в которой протекает периодический ток, равно r . Тогда по закону Джоуля – Ленца количество тепла, выделяемое в этой цепи током за элементарный промежуток времени dt, будет , а за каждый полный период .

Обозначим через I такой постоянный ток, который за этот промежуток времени Т выделит в со­противлении r такое же количество тепла. Тогда имеем:

, откуда .

Величина I, определяемая последним ра­венством, называется действующим или сред­ним квадратичным значением периодического тока.

Для синусоидального тока имеем:  и, следовательно,

.

так интеграл от второго слагаемого равен нулю. Окончательно для действующего значения синусоидального тока получим

.

Аналогично определяется действующее значение Е периодической ЭДС:

.

Для действующего значения синусоидаль­ной ЭДС: .

Приборы, применяемые для измерения пе­риодических ЭДС и токов, обычно дают их действующие значе­ния.

Кроме средних квадратичных значений периодических ЭДС и токов, используют их средние арифметические зна­чения.

Под средними арифметическими или просто средними зна­чениями ЭДС и тока за промежуток вре­мени от t₁до t₂понимают, соответственно, величины:

 и .

Для синусоидальных ЭДС и токов среднее значение за полный период равно нулю, так как площади положительной и отрицательной полуволн синусоиды равны по величине и противоположны по знаку. Обычно для таких ЭДС и токов под средним значением понимают среднее значение, соответствующее положительной полуволне. В этом случае:

.

Аналогично .