Предмет математической статистики

       Математическая статистика – наука о способах получения выводов из данных опыта, полностью опирается на методы теории вероятностей, в этом смысле теория вероятностей является частью математической статистики.

Основные разделы математической статистики.

1. Теория оценок. Эта теория дает подходы к приближенному вычислению параметров случайных величин (матема-тического ожидания, дисперсии, ковариации и т.д.) по данным опыта.

2. Статистическая проверка гипотез. Эта теория дает подходы к проверке справедливости интересующих нас гипотез по данным опыта.

3. Дисперсионный анализ. Эта теория дает подходы к изучению слабых (статистических) зависимостей между величинами.

Выборка из генеральной совокупности. Вариационный ряд. Гистограмма относительных частот

       В математической статистике применяются следующие термины. Множество всех возможных значений случайной величины  называется генеральной совокупностью.

       Пусть с испытанием связана случайная величина  и пусть в результате серии n независимых испытаний получен набор значений :

.

Данный набор чисел называется выборкой из генеральной совокупности, число n называется объемом выборки, числа называются элементами выборки. Элементы выборки, расположенные в порядке возрастания называются вариационным рядом:

- вариационный ряд.

Число  называется размахом выборки.

Выполним следующие построения:

                      . .   .  

                   . .   .     

рис. 1

1) разделим отрезок  на некоторое число m интервалов одинаковой длины .

2) подсчитаем число элементов выборки, попадающих в каждый интервал:

- частоты попадания в интервал.

Очевидно, .

3) составим таблицу

Таблица 1.

          .

       Элементы второй строки называются относительными частотами попадания в  интервал. Эта таблица называется выборочным распределением случайной величины .

Очевидно, .

4) изобразим выборочное распределение на графике

f ^* ( x )

                               . .   .

х                                                                                                                                                                             

. .   .                                                       

рис. 2

За единицу масштаба на оси абсцисс примем длину интервала . Очевидно, площадь построенной ступенчатой фигуры равна единице.

       Построенный график называется гистограммой относительных частот и представляет собой выборочный аналог плотности вероятности случайной величины.

Выборочная функция распределения

Построим выборочный аналог функции распределения F (x).

Для этого вначале на каждом интервале (рис. 1) выберем середину  и составим таблицу.

Таблица 2.

       .

рис. 3

На оси ординат откладываем накопленные относительные частоты. Кружочки на графике означают, что соответствующие точки выброшены.

       Можно доказать, что при достаточно большом объеме выборки и при достаточно мелком делении интервалов с практической достоверностью  близка к истинной функции распределения F (x).

Лекция № 5

Тема: Оценка параметров распределения.

План:

1. Выборочные оценки параметров случайной величины. Основные требования к оценкам.

2. Состоятельные несмещенные оценки для математического ожидания, дисперсии, ковариации.