Системы  регрессионных уравнений (структурные модели) - виды с кратким описанием

Эконометрические модели в виде совместных линейных уравнений применяются для более адекватного, точного описания многофакторных экономических процессов (например, модель спроса и предложения содержит 2-3 взаимосвязанных уравнения).

В общем случае система эконометрич. уравнений, описывающих взаимосвязь n факторов, зависящих от m независимых факторов х, может иметь вид (в матричной форме):

AX_t + BY_t = ε_t                                 (*)

или, подробнее, возможны 3 типа систем эконометрических уравнений :

- системы внешне не связанных уравнений

- рекурсивной системы  

- системы одновременных линейных уравнений

Такие формы системы уравнений называются также структурными моделями.

Например, модель производительности труда и фондоотдачи имеет вид рекурсивной модели вида:

где y₁ – производительность труда

y₂ – фондоотдача

х₁– фондовооруженность труда

х₂– энерговооруженность труда

х₃ – квалификация рабочих

Другой пример – модель связи цен и зарплаты людей – описывается системой одновременных линейных уравнений

где y₁ – темп изменения зарплаты

y₂ – темп изменения цен

х₁– процент безработицы

х₂– темп изменения постоянного капитала

х₃ – темп изменения цен на сырье

Каждое уравнение в силу его линейности может быть решено методом МНК (но считается, что оценки параметров модели будут смещенными. Поэтому сначала принято привести систему уравнений в приведенную форму, в которой справа в уравнения не фигурируют переменные, стоящие слева, т.е.:

Y_t = – A^-1B X_t + A^-1ε_t                   (**)

Т.к. переменные х_ij считаются независимыми, то к (**) применим МНК для вычисления параметров модели приведенной формы (косвенный МНК называется). Но (**) получен из (*) путем замен, в итоге появляются дополнительные коэффициенты в приведенной форме (**) по сравнению с исходной системой (*). Чтобы от решенной приведенной модели можно было вернуться к исходной модели (*) (и чтобы решение обратного приведения было единственным), надо чтобы число коэффициенты приведенной формы совпало с числом исходной, неприведенной модели, что бывает не всегда – и тогда оценки параметров оказываются смещены, т.к. после приведения система приобретает дополнительные коэффициенты.

Это называется проблемой идентификации. Иногда эту проблему обходят, уменьшая число коэффициентов, приравнивая некоторые коэффициенты друг к другу. Но это не всегда возможно.

С точки зрения того, идентифицируема, т.е. имеет ли единственное решение приведенная форма структурной модели, возможны 3 случая:

1) идентифицируемая модель (когда от приведенной модели можно вернуться обратно к единственному варианту, т.к. число коэффициентов исходной и приведенной моделей равны. Тогда методом МНК определяют параметры приведенной модели – они служат и параметрами исходной модели.

2) неидентифицируемая модель (когда от приведенной модели можно вернуться обратно к единственному варианту исходной модели нельзя, т.к. число коэффициентов приведенной модели меньше, чем в исходной). Например, если в каждом уравнении исходной системы фигурировало n зависимых переменных Y и m влияющих переменных Х, то такая модель неидентифицируема изначально, параметры будут смещенными, модель неадекватной.

3) сверхидентифицируемая модель – (число коэффициентов приведенной модели больше, чем в исходной) – тогда параметры (решение) можно найти, но специальными методами.

Приложение 1.