КОММЕНТАРИИ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАНИЙ ЕГЭ ПО ИНФОРМАТИКЕ

БЛОК «ИНФОРМАЦИЯ И ЕЕ КОДИРОВАНИЕ»

В соответствии с обобщенным планом экзаменационной работы по информатике на уровне воспроизведения знаний проверяется такой фундаментальный теоретический материал, как:

- единицы измерения информации;

- понятие о кодировании различной информации;

- системы счисления.

Материал на проверку сформированности умений применять свои знания в стандартных ситуациях входит во все три части экзаменационной работы. По данному тематическому блоку это следующие умения:

- подсчитывать информационный объем сообщения;

- осуществлять перевод из одной системы счисления в другую;

- осуществлять арифметические действия в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления.

Задания занимают следующие позиции в вариантах КИМ: А1-А5, А13, В1, В5.

Причиной немногочисленных ошибок при выполнении за­даний на оценку информационного объема фразы в различных кодировках обычно являются смешивание или не­правильная интерпретация учащимися таких элементарных по­нятий, как «бит» и «байт», а также неверные арифметические вычисления. Следует также обратить внимание на то, что в от­ветах используются обе единицы измерения количества инфор­мации.

При выполнении этого задания у учащихся иногда возникают вопросы: «Как точно узнать количество пробелов в фразе? Счи­тать ли точку в конце частью задания или частью оцениваемой фразы?» В точном подсчете символов в данном случае нет необходимости, поскольку в задании требуется оценить информаци­онные фразы, т.е. из предложенных вариантов ответа выбрать наиболее близкий к полученному учащимся. Если полученный результат существенно отличается от всех предложенных вари­антов, то это означает либо арифметическую ошибку, либо то, что надо выразить полученное значение в битах через байты или наоборот.

Пример.

Каждый символ в Unicode закодирован двухбайтным словом. Оцените информационный объем следующего предложения в этой кодировке:

Без труда не вытащишь рыбку из пруда.

1) 37 бит  2) 592 бита 3) 37 байт   4) 592 байта

   Решение:

Длина фразы составляет 37 символов (вместе с точкой). Следователь­но, ее объем можно оценить в 37 х 2 = 74 байт. Такого варианта ответа нет, попробуем перевести результат в би­ты: 74 байт х 8 = 592 бит.

Ответ: 2.

 

При выполнении заданий следующего типа: «Метеорологическая станция ведет наблюдение за влажностью воздуха. Результатом одного измерения является целое число от 0 до 100%, которое записывается при помощи минимально воз­можного количества бит. Станция сделала 80 измерений. Опреде­лите информационный объем результатов наблюдений», следует пользо­ваться формулой алфавитного подхода к измерению количества информации I = M - log ₂ N , где N — количество символов (мощ­ность) алфавита, в котором записано сообщение, М — количество символов в записи сообщения (длина сообщения), l — количество бит информации, содержащееся в сообщении. Если log N не яв­ляется целым числом, то l округляется в большую сторону.

Информационный объем сообщения, выраженный в битах и минимальное количество двоичных разрядов, требуемое для записи сообщения в двоичном алфавите совпадают.

Из приведенной формулы легко получить следующее след­ствие: с помощью п двоичных разрядов (бит) можно закодировать двоичным кодом все элементы множества мощностью 2ⁿ (т.е. со­стоящего из 2ⁿ элементов). Информационный объем одного сим­вола алфавита, обозначающего элемент данного множества, будет равен n.

Решение

Способ 1

Воспользуемся приведенной выше формулой. Алфавитом в данном случае является множество целочисленных значений влажности от 0 до 100. Таких значений 101. Поэтому, информа­ционный объем результатов одного измерения l=log₂ 101. Это зна­чение не будет целочисленным. Не вычисляя его, сразу найдем округленное в большую сторону целое значение. Заметим, что ближайшая к 101 целая степень двойки, большая 101, есть чис­ло 128 = 2⁷. Поэтому принимаем l=log₂128=7 бит. Учитывая, что станция сделала 80 измерений, общий информационный объем равен 80 х 7= 560 бит = 70 байт. Ответ: 70 байт.

Способ 2

Воспользуемся следствием из формулы. Заметим, что 2⁶< 101 < 2⁷, поэтому минимально необходимое количество двоичных разрядов (бит) равно 7. Далее аналогично получаем, что общий информационный объем равен 80 х 7=560 бит= 70 байт. Ответ: 70 байт.

 

При выполнении заданий, связанных с понятием скорости передачи данных, часто допускаются ошибки, связан­ные с неверным использованием размерности единиц измерения. Следует следить за размерностью исходных данных и размерно­стью, в которой требуется записать результат. Для успешного вы­полнения заданий такого типа нужно потренироваться в переводе Кбит/мин в Кбайт/с и т.д.

Пример

Скорость передачи данных через ADSL-соединение равна 256000 бит/с. Передача файла через данное соединение заняла 3 мин. Определите размер файла в килобайтах.

Решение

Размер файла = скорость х время передачи. Выразим время в секундах, а скорость — в килобайтах в секунду.

Размер файла = 256 000/(8 • 1024) • 3 • 60 Кбайт.

Прежде чем выполнять действия, выделим в явном виде, там, где это очень просто, степени двойки.

Размер файла = 2⁸ • 1000/(2³ • 2¹⁰) • 3 • 15 • 4 = 2⁸ • 125 • 2³/ (2³ • 2¹⁰) •  • 45 • 2² = 2¹³ • 125 • 45/2¹³ = 125 • 45 = 5625 Кбайт. Ответ: 5625.

 

Пример

Сколько секунд потребуется модему, передающему сообщения со скоростью 28800 бит/с, чтобы передать цветное растровое изображение размером 640х480 пикселей, при условии что цвет каждого пикселя кодируется тремя байтами?

Решение

Поскольку на кодирование каждого пикселя приходится 3х8=24 бита, то общий объем передаваемой информации составляет 640х480х24 бита. Таким образом время передачи информации (в секундах) равно

640 х 480 х 24/28800 = 64 х 4 = 256 с.

Ответ: 256 с.

 

Важное замечание:

Практически во всех заданиях можно избежать громоздких вычислений, упростив выражения, как это показано выше. Та­кая техника вычислений обязательно должна быть отработана в процессе подготовки к экзамену, поскольку она обеспечивает существенную экономию времени и минимум досадных ариф­метических ошибок.

 

Основные трудности при выполнении заданий на выполнение действий над числами в разных системах счисления порождаются недостаточным усвоением математического со­держания понятия позиционной системы счисления. Для более глубокого понимания материала надо излагать алгоритмы пере­вода чисел из одной системы в другую с приведением доказа­ тельств.

Кроме того, рекомендуется побуждать учащихся к решению тренировочных заданий различными способами, с обязательным сравнением результатов. Необходимо выполнять проверку по­лученных результатов путем обратного перевода чисел или вы­полнения действий в другой системе счисления.

 

Для быстрого и правильного решения заданий ЕГЭ, уча­щийся, помимо умения применять стандартные алгоритмы перевода чисел из одной системы счисления в другую, должен знать:

Ú наизусть значения целых степеней числа 2 от 2° до 2¹⁰,

Ú представление чисел от 0 до 16 в системах счисления с основаниями 2, 8, 10, 16,

Ú свойства систем счисления с основаниями вида Р = Q " ( в этом случае одной цифре в записи числа в системе с основанием Р соответствует п цифр в системе с основанием Q).

 

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2n	1	2	4	8	16	32	54	128	256	512	1024

 

Основание	10	2	8	16
	0	0	0	0
	1	1	1	1
	2	10	2	2
	3	11	3	3
	4	100	4	4
	5	101	5	5
	6	110	6	6
	7	111	7	7
	8	1000	10	8
	9	1001	11	9
	10	1010	12	А
	11	1011	13	В
	12	1100	14	С
	13	1101	15	D
	14	1110	16	E
	15	1111	17	F
	16	10000	20	10

 

Пример

Количество значащих нулей в двоичной записи десятичного числа 126 равно:

1) 1     2) 2        3) 3        4) О

Решение

Способ 1

Преобразуем число 126 в двоичную систему с помощью из­вестного алгоритма деления «уголком» с выделением остатков:

 

126	2
0	63	2
	1	31	2
		1	15	2
			1	7	2
				1	3	2
					1	1	2
						1	0

Выписав остатки от деления, получим 126₁₀=1111110₂. В дво­ичной записи один значащий нуль. Ответ: 1.

Способ 2

Заметим, что 126=128-2 = 10000000₂-10₂=1111110₂

Ответ: 1.

Пример

Укажите через запятую в порядке возрастания все числа, не превосходящие 25, запись которых в двоичной системе счисле­ния оканчивается на 101. Ответ запишите в десятичной системе счисления.

Решение

101₂ = 5₈. Найдем числа, не превосходящие 25, запись которых в восьмеричной системе счисления оканчивается на 5. Посколь­ку, 25<8², такие числа должны иметь представление х = qx 8+5, где q — цифра восьмеричной системы. Так как х 25, q 2. Под­ставив допустимые значения q , получим искомые значения х:

q	x =q x 8+5
0	5
1	13
2	21

 

Выполним проверку:

5₁₀=101₂;

13₁₀=1101₂;

21₁₀=10101₂.

Ответ: 5, 13, 21.