Напряженное и деформированное состояния при растяжении и сжатии

Морозовой Анастасии Владимировны

 

Рассмотрим более детально особенности напряженного состояния, возникающего в однородном растянутом стержне. Определим сначала напряжения в некоторой наклонной площадке, составля­ющей угол α с плоскостью нормального сечения (рис. 1). Полное напряжение p на этой площадке, согласно условию однородности напряженного состояния для всех точек площадки, будет одним и тем же. Равнодействующая же внутренних сил в сечении должна
быть направлена по оси стержня и равна величине растягивающей силы σF , т. е.

pF_α = σF ,

где F_α—площадь косого сечения:

F_α = F ∕ cosα

Таким образом, полное напряжение на наклонной площадке равно

р = σ cos α.

Раскладывая это напряжение по нормали и по касательной к наклонной площадке (рис. 1, в), находим

σ_α = р cosα, τ_α = р sinα,

или

σ_α = σ соs²α,                                                         (1.1)

τ_α = 1∕2σ sin2α.                                                 (1.2)

Как видим, для одной и той же точки растянутого стержня величина возникающих в сечении напряжений оказывается различ­ной в зависимости от ориентации секущей площадки. Поэтому, в частности, неточным было бы утверждение, что при растяжении возникают только нормальные напряжения. Это верно только для площадок, нормальных к оси стержня.

Рис. 1

 

Если положить α = 0, то из выражений (1.1) и (1.2) мы получим напряжения в поперечном сечении стержня, т. е.

σ_α = σ, τ_α = 0.

При α = 90°, т. е. в про­дольных сечениях, σ_α = τ_α = 0. Это значит, что про­дольные слои растянутого стержня не имеют друг с другом силового взаимодействия по боковым поверхностям. В этом смысле растяжение стержня можно уподобить растяжению пучка не связанных друг с другом парал­лельных нитей.

Касательное напряжение τ_α, обращаясь в нуль в продольных и поперечных сечениях, имеет наибольшее значение на площадках, наклоненных под углом 45° к оси растянутого стержня:

τ_max=σ/2

Если из растянутой полосы мы выделим прямоугольник (рис.2, а), то на его гранях АВ и CD следует приложить напряжения σ_α и τ_α, определяемые выражениями (1.1) и (1.2). На рис. 33, б эти напря­жения отмечены сверху штрихом. На гранях ВС и AD напряжения определяются из тех же выражений, в которых только угол α заменяется углом α+π/2. Эти напряжения отмечены двумя штри­хами. Таким образом, то напряженное состояние, которое показано на рис. 2, б представляет собой обыкновенное растяжение, но изображенное в непривычном для нас ракурсе.

Существенно отметить, что переход от произвольной площадки (α) к площадке (α+90°) не сказывается на абсолютной величине касательного напряжения τ_α. Действительно,

│1/2σ sin2α│ = │1/2σ sin2(α+90°)│ .

Рис. 2

 

 

Следовательно, на двух взаимно перпендикулярных площадках (если отвлечься пока от знаков) касательные напряжения должны быть равными. Это условие яв­ляется общей особенностью лю­бого напряженного состояния и носит название закона парности касательных напряжений.

Этому закону можно дать на­глядное толкование. Если рас­смотреть произвольно взятый элемент ABCD (рис. 2, а), то легко заметить, что, независимо от величин нормальных напря­жений σ' и σ", касательные на­пряжения τ' и τ" должны быть такой величины и иметь такое направление, чтобы моменты их пар взаимно уравновешивались .(рис. 2, б). Для произвольно взятого элемента, имеющего тол­щину h, очевидно, что

τ' ABhAD = τ" ADhAB .

Таким образом,

τ′=τ″.

При этом, как видно из рис. 2, б, векторы касательных напряже­ний в двух взаимно перпендикулярных площадках направлены либо оба к общему ребру (реб­ра А и С), либо от общего ребра (В и D ).

Рис. 3

 

Теперь обратимся к анализу деформированного состояния рас­тянутого стержня.

Наблюдения показывают, что удлинение стержня в осевом на­правлении сопровождается уменьшением его поперечных размеров (рис. 3). Таким образом, при растяжении возникает не только  продольная, но и поперечная деформация стержня.

Наблюдения показывают, что удлинение стержня в осевом направлении сопровождается уменьшением его поперечных размеров (рис. 3). Таким образом, при растяжении возникает не только продольная, но и поперечная деформация стержня,

ε_прод = ∆ℓ/ℓ, ε_попер = ∆а/а.

Экспериментально установлено, что в пределах применимости закона Гука поперечная деформация пропорциональна продоль­ной,

                    ε_попер = μ ε_прод                    (1.12)

где μ- безразмерный коэффициент пропорциональности, называе­мый коэффициентом Пуассона. Величина μхарактеризует свойства материала и определяется экспериментально. Для всех металлов числовые значения μлежат в пределах 0,25÷0,35. Для изотропного материала ве­личина μ вообще не может превышать 0,5.

Рис. 4

 

Вернемся к рис. 2, а. Полоса удлиняется в продольном на­правлении и сужается в попе­речном. Стороны прямоугольни­ка ABCD , начерченного на по­верхности полосы, изменят свою длину, а сам прямоугольник перекосится и превратится в па­раллелограмм. Углы А и С уменьшатся, а В и D — увеличатся. Это изменение прямого угла для заданной ориентации сторон, как нам уже известно, называется угловой деформацией или углом сдвига. Чтобы найти его, мы определим сначала углы, на которые повер­нутся отрезки АВ и AD . Разность этих углов и даст нам искомый угол сдвига.

Начнем с отрезка АВ (рис. 4). Построим на нем, как на диаго­нали, вспомогательный прямоугольник AKBL , стороны которого KB и AL ориентированы по продольной оси стержня. Вследствие продольного удлинения точка В переместится вправо и отрезок АВ повернется на угол

 

В результате поперечного сужения отрезок А В получит дополни­тельный угол поворота

 

Сумма этих углов дает нам искомый угол поворота отрезка АВ:

или

 

Изменяя угол а на 90°, найдем угол поворота отрезка AD (рис. 2, а):

 

Угловая деформация (угол сдвига) определяется разностью углов поворота отрезков, и, следовательно,

 

Сопоставляя выражение γ_α с выражением (1.2), выведенным для напряжения τ_α, замечаем, что угол сдвига, независимо от ориентации осей, пропорционален касательному напряжению, возникающему в тех же плоскостях, т. е.

 

Это соотношение в случае изотропного материала является еди­ным для всех типов напряженных состояний и носит название закона Гука для сдвига. Опуская индекс α, напишем последнее выражение в виде

 

 

где величина G называется модулем сдвига или модулем упругости второго рода:

Размерность модуля G такая же, как и модуля Е, т. е. кГ/см².