Энергетический и фазовый спектры.
Не всегда легко понять характер изменения комплексной функции, имея графики ее вещественной и мнимой частей, однако в оптике и других областях физики более привычным является использование понятия квадрата модуля преобразования, или энергетического спектра: Энергетический спектр является четной функцией частоты и поэтому более прост для понимания. С другой стороны, энергетический спектр содержит в себе, по крайней мере, половину информации об исходном колебании, так как теряется информация о фазе. Тем не менее, для ряда приложений энергетический спектр может оказаться инструментом исследования, который необходим. Энергетический спектр можно получить непосредственно из преобразования Хартли. Имеем Рассмотрим энергетический спектр, полученный из преобразования Хартли на примере прямоугольного импульса.
Таким образом, вместо возведения в квадрат вещественной и мнимой частей и их суммирования при данном значении мы возводим в квадрат и суммируем два значения преобразования Хартли для частот + и — . При этом результат суммирования должен быть разделен на два, так как каждая из функций вида и , возведенная в квадрат, равна полному энергетическому спектру, тогда как вещественная и мнимая части содержат по половине этой величины. В оптике представляет затруднение измерение фазы преобразования Фурье, однако в анализе сигналов рассмотрение фазовых функций (фазочастотных характеристик) является привычной процедурой, хотя их понимание и толкование требуют определенной подготовки и опыта. Фазовая функция может быть непосредственно вычислена из выражения Фаза преобразования Фурье может быть также непосредственно получена из преобразования Хартли В объяснении характера изменения фазы при изменении частоты оказывается полезным опыт. При интерпретации фазы следует учитывать, что поведение фазы непосредственно связано с амплитудой, причем большие фазовые изменения происходят вблизи нуля амплитуды, и наоборот - незначительные изменения фазы при больших амплитудах. Имеем следующую формулу для определения фазы преобразования Фурье через преобразование Хартли: Наглядно это можно представить на следующем примере. Полезной альтернативой одновременному представлению вещественной и мнимой частей является построение траектории на комплексной плоскости путем изображения как функции с обозначением на этой траектории значений частоты как параметра. Тогда для любой данной частоты амплитуда | | определяет расстояние от начала координат до соответствующей точки параметрически заданной кривой, а фаза преобразования определяет угловую координату. Такая диаграмма для функции изображена на рис.1. Комплексная плоскость для данной диаграммы - это не плоскость из теории функции комплексной переменной, где независимая переменная оказывается комплексной величиной. Здесь независимая переменная вещественна, однако зависимая переменная является комплексной, и можно рассматривать ее вещественную и мнимую части как декартовы координаты. Заслуживает внимания тот факт, что при движении по траектории к началу координат скорость «вычерчивания» траектории, измеряемая отношением длины дуги к частотному интервалу, уменьшается таким образом, что угловая скорость «бегущей» точки на траектории остается постоянной. Это свойство отражает линейную природу графа argF ( f ); разрывы фазовой функции обусловлены прохождением траектории через начало координат. Можно также рассматривать это преобразование в виде трехмерной винтовой траектории, для которой в данном случае можем представить только перспективную проекцию, но может быть сделана проволочная модель этой кривой. На рис.2 показана эта винтовая кривая, дополняющая наше представление еще одним измерением. Траекторию в полярных координатах можно представить в виде проекции винтовой кривой на плоскость , а вещественную и мнимую части как проекции на горизонтальную и вертикальную плоскости прямоугольной системы координат соответственно. В определенном смысле преобразование Хартли может рассматриваться как гладкая форма представления вещественного колебания. Будучи чисто вещественным, преобразование Хартли не требует других способов представления, тогда как другие способы могут быть непосредственно получены из него. Теоремы. Теоремы преобразований полезны тем, что они позволяют избежать сложного математического анализа. Владея рядом теорем, можно получить новые преобразования, исходя из традиционных, свести данную задачу к известной и объединить функции в более сложные формы без необходимости все выполнять с самого начала. За счет этого упрощается интегрирование функций, имеющих аналитическое описание. Численные методы расчетов также оказываются выгодными, когда применяются теоремы, позволяющие перейти к более простым или быстрым операциям. Наконец, это обеспечивает владение необходимым аппаратом логического мышления. Рассматриваются два класса теорем. Первый из них связан с такими процедурами, как усечение, модуляция, свертка, и другими общепринятыми операциями, которые могут выполняться над функцией. Этот класс теорем дает ответ на вопрос: какой процедуре подвергается (как видоизменяется) преобразование исходной функции? Например, каким образом изменяется преобразование функции, являющейся зеркальным изображением исходной функции? Ответ заключается в следующем: преобразование также изменяется на зеркальное, что может показаться не столько простым, сколько очевидным выводом. Тем не менее, опыт показывает, что подобные знания оказываются полезными, особенно если могут быть применены соображения относительно симметрии, как в данном примере. Второй класс теорем связан с соотношениями между функциями и их преобразованиями, что обычно может быть выражено в виде равенств. Например, интеграл от функции в бесконечных пределах равен главному значению ее преобразования. Здесь мы вновь имеем крайне простую теорему, которая, однако, избавляет от необходимости выполнять трудоемкое интегрирование, оказывается полезной при проверке численных расчетов и является сильным инструментом в случае, когда при решении какой-либо задачи возникает вопрос о выборе метода ее решения: аналитического или численного. Значительная часть сведений об этих теоремах может быть сведена в таблицы, которые неизменны.
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (197)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |