Теоремы связанные с ДПХ.
Каждой теореме дискретного преобразования Фурье соответствует подобная теорема для дискретного преобразования Хартли. Для полноты представления материала ниже даются все теоремы, в том числе теоремы о свертке и корреляции. Свертка функций непрерывного аргумента, обозначаемая символом , отличается от процедуры циклической свертки дискретных последовательностей, для обозначения которой используется символ . Можно отметить, что среднее значение последовательности определяется величиной H(0), а значение ее среднего квадрата равно .
Некоторые теоремы для двух различных преобразований характеризуются точным соответствием, как, например и , тогда как в других случаях имеют место различия. Теорема о зеркальном изображении. Если из последовательности сформировать ее зеркальное изображение , то в результате ведущий (нулевой) элемент сохранит неизменное положение, а остальные элементы изменят порядок следования на обратный. Таким образом, вместо элемента f(1) исходной последовательности имеем f(-1), который интерпретируется как f(-1 mod N) и равен f(N-1), т.е. является последним элементом новой последовательности. Следовательно, вместо последовательности {a b c d e f g h}имеем {a h g f e d c b}, что в области преобразования соответствует замене вида {ABCDEFGH} {AHGFEDСВ}. Теорема сложения. Свойство суперпозиции, иллюстрируемое теоремой сложения, просто отражает линейность оператора ДПХ. Теорема о сдвиге. Сначала рассмотрим пример, в котором реализуется единичный сдвиг последовательности {a0 a1 a2 ... aN-1}, имеющей ДПХ вида {α0 α1 α2 ... αN-1}. В соответствии с теоремой о сдвиге для Т= 1 имеем последовательность {aN-1 а0 а1 аг … aN-2},для которой ДПХ равно { α 0 C1α1 C2a2 ... C N-1 αN-1} - { 0 S1α N-1S2αN-2... SN-1α1}, где Cν = cos (2πν/N), Sν = sin(2πν/N). Для выполнения данной операция сдвига мы перемещаем каждый элемент исходной последовательности на одну позицию вправо. Последний элемент в соответствии с принятым свойством цикличности перемещается на первую позицию. ДПХ состоит из двух последовательностей, одна из которых содержит косинусные, другая - синусные коэффициенты. ДПФ также представляет собой совокупность двух последовательностей с синусными икосинусными коэффициентами, однако для ДПХ в отличие от ДПФ для синусной компоненты характерно зеркальное отображение - это свойство именуется обратной индексацией. Для доказательства теоремы о сдвиге подставим f(t+T)вформулу, определяющую прямое ДПХ, и получим f(τ+T)cas(2πντ/N) = f( )cas[2πν( -T)/N] = f( )[cas (2πν /N) cos (2πνT/N) + cas'(2πν /N) sin(2 πνT/N)] = cos (2πνT/N) f( )cas(2πν /N) + sin(2πνT/N) f( )cas'(2πνT/N) = cos (2πνT/N) H(ν) - sin(2πνT/N) f( )cas(-2πν /N) = cos(2πνT/N) H(ν) -sin(2πνT/N)H(-ν). Теорема о свертке. В общем случае преобразование свертки (τ) f2(τ) содержит четыре компоненты. Основными величинами, которые должны быть вычислены, являются прямые произведения Ра(ν)= H1(ν)H2(ν) и смешанные произведения Рb(ν)=H1(ν)H2(-ν). С использованием этих обозначений имеем H(ν)= N[Pa(ν)-Ра(-ν)+Рb(ν)+Рb(-ν)]. Таким образом, данная процедура включает два, а не четыре действия умножения. Теперь если Н2(ν) - четная функция (т. е. Н2(ν)= H2(-ν)), то H(ν) = NHl(ν)H2(ν). Рассмотрим пример, когда H2(ν) –чётная функция. Точно так же простую формулу получим в случае, когда Н2(ν) является нечетной функцией; при этом имеем H(ν)=NHl(-ν)H2(ν). Вследствие коммутативности Н(ν)=NHl(ν)H2(ν), если либо H1(ν), либо Н2(ν) являются четными функциями. Часто одна либо другая функция обладает свойствами симметрии или антисимметрии, что приводит к более простым соотношениям. Ввиду важности операции свертки мы вернемся к ней в следующей главе.
Теорема о произведении. В теореме о произведении четыре компоненты предполагают выполнение только двух операций свертки, так как две другие просто реализуются путем зеркального отображения двух сомножителей.
Теорема о растяжении. Сходство этой теоремы с соответствующей теоремой для случая непрерывной независимой переменной относится к изменению масштаба по оси абсцисс, когда V(t)преобразуется в V(t/T).Так как величина T может быть либо больше, либо меньше единицы, операция может представлять собой либо растяжение, либо сжатие. В случае дискретной переменной изменения масштаба также имеют практическое значение, например, когда последовательность регулярных измерений должна быть повторена с большей или меньшей скоростью. Функция V(t/T)определена для любого Т при заданной V(t), но это утверждение несправедливо для f(τ/Т) при заданной функции f(τ), где τ=0,1, … ,N-1. Следовательно, применительно к теореме подобия отсутствует строгая аналогия. Теорема о растяжении имеет отношение только к увеличению масштаба времени, что осуществляется добавлением нулей в исходную последовательность. Наиболее просто это можно проиллюстрировать на примере. Пусть последовательность {abcd}имеет последовательность ДПХ {α β γ δ}. Тогда последовательности {а 0 b 0 с 0 d 0} соответствует последовательность ДПХ вида {α β γ δ α β γ δ }. В правомерности этого результата можно убедиться, анализируя выражение для прямого ДПХ: α+ βcas τθ+ γcas 2τθ+ δcas 3τθ+ αcas 4τθ+ βcas 5τθ+ γcas 6τθ+ δcas7τθ. Убеждаемся в том, что при τ = 0 имеем f(0) = а. При нечетном τ сумма равна нулю, для четного τ эта сумма сводится к выражению: α+βcasτθ+γcas2τθ+δcas3τθ, для которого обратное преобразование Хартли имеет вид: {a b c d}. Теорема о второй производной. Рассмотрим данную теорему на примере экспоненциальной функции.
Выводы по ДПХ. Свойства ДПХ свидетельствуют в пользу использования этого преобразования в численном анализе. Тот факт, что значения преобразования Хартли являются вещественными, создает удобства при выполнении расчетов. Кроме того, полезно свойство симметрии обращения преобразования, так как не требуется запоминать, к какой области представления относится данная последовательность. Более того, ряд теорем для преобразования Фурье имеет различную форму для разных областей представления (временной или частотной); этот недостаток отсутствует у ДПХ. Множитель N зависит от области представления, и от него можно было бы избавиться, однако на практике почти всегда существуют нормирующие или калибровочные факторы, которые должны быть учтены по окончании численных расчетов. Опыт показывает, что последний этап заключается в учете в совокупной форме коэффициентов пропорциональности, поэтому отклонение от точного соответствия между прямым и обратным преобразованиями, заключающееся в появлении коэффициента N,не имеет значения в практике вычислений.
Заключение. Таким образом, в данном реферате были рассмотрены некоторые основы преобразования Хартли. В результате чего можно сделать следующие выводы. Во-первых, хотя между интегралами преобразования Хартли
отсутствуют существенные отличия от обычных интегральных формул преобразования Фурье, однако на практике эти различия значительны. Во-вторых, функция вещественна в отличие от функции преобразования Фурье. В-третьих, обратное преобразование для его реализации требует точно такой же процедуры интегрирования, как и прямое преобразование. Наконец, не является обычным преобразованием Фурье, и мы должны быть готовы к нетрадиционным характеру и свойствам этого преобразования. Значительная часть умозрительных построений относительно преобразования Фурье, а, именно спектра колебания, являющегося функцией времени, непосредственно неприменима к .
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (220)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |