Анализ содержания учебных пособий и методические особенности преподавания темы «Правильные многоугольники»

Содержание

 

Введение. 3

1 Анализ методической литературы по теме. 4

1.1 Анализ содержания учебных пособий и методические особенности преподавания темы «Правильные многоугольники». 4

1.2 Сравнительная таблица для учебных пособий разных авторов по теме «Правильные многоугольники». 11

2 Материалы для проверки усвоения темы «Правильные многоугольники». 14

2.1 Проверочные тесты для учеников. 14

2.2 Тесты для студентов по теме «Правильные многоугольники». 16

2.3. План-конспект урока 1: «Правильные многоугольники». 17

2.4 План-конспект урока 2 «Правильные многоугольники. Математический диктант». 21

2.5 Статья «Решетки и правильные многоугольники». 23

2.6 Динамические модели. 24

2.7 Исторические сведения для учеников и студентов по теме  «Правильные многоугольники». 26

Заключение. 27

Список использованных источников. 28

 

Введение

 

В окружающем мире прекрасное сложно и многообразно. Восприятие красоты предполагает знакомство с её простейшими, первичными элементами. Изучение правильных многоугольников в планиметрии позволит ликвидировать кажущийся отрыв математики от реальности, поможет учащимся понять, что законы математики взяты из природы и объясняют природу.

Курс изучения правильных многоугольников предполагает:

- изложение общих вопросов о правильных многоугольниках (определение, теоремы, исторические сведения);

- доказательство теоремы о вписанной и описанной окружностях;

- вывод формулы для нахождения элементов правильного многоугольника через радиус вписанной или описанной окружности;

- построение некоторых правильных многоугольников, вписанных в окружность.

Кроме учебной цели достигаются и другие:

– воспитание эстетического вкуса, развитие элементов творчества.

- систематизация знаний учащихся о симметрии, знакомство с различными видами симметрии живой и неживой природы, применением симметрии.

- знакомство учащихся с делением отрезка в отношении золотого сечения и его использованием в архитектуре, скульптуре, музыке, живописи.

К данной теме существует большое количество дополнительной литературы, публикуются статьи в периодических изданиях, имеется очень много информации в Интернет-ресурсах. В данной курсовой работе приводятся ссылки на эти материалы.

Анализ методической литературы по теме

 

Анализ содержания учебных пособий и методические особенности преподавания темы «Правильные многоугольники»

 

В данной курсовой работе проводится анализ темы «Правильные многоугольники» на примере учебных пособий разных авторов, в частности:

1. «Геометрия», В.В.Шлыков, учебное пособие для 10 класса учреждений, обеспечивающих получение общего среднего образования, с русским языком обучения с 12-летним сроком обучения, 2-е издание, 2007.

2. «Геометрия, 10 кл», Н.В.Гвоздович, Т.П. Кубеко, учебное пособие для 10 класса учреждений, обеспечивающих получение общего среднего образования, с русским языком обучения с 12-летним сроком обучения(базовый и повышенный уровни), 2006.

3. «Геометрия, 10», Н.М Рогановский, 2007(для 12-летки), а также «Геометрия, 7-9»,1997(для 11-летки).

4. «Математика. Алгебра и геометрия», Г.Н. Солтан, 2006 год, учебное пособие для 10 класса учреждений, обеспечивающих получение общего среднего образования с 12-летним сроком обучения(базовый и повышенный уровень).

Дополнительно:

1. «Геометрия», 7-9 классы, Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И.

2. «Геометрия», 7-9 классы, Шарыгин И.Ф.

 

Шлыков в учебном пособии для 10 класса выделил третью главу «Правильные многоугольники. Длина окружности и площадь круга. Координатный метод», где посвятил весь первый параграф изучению правильных многоугольников. Гвоздович также в главе под тем же названием, как и у Шлыкова отдает этой теме отдельный параграф. Аналогично поступает и Солтан. Рогановский в издании 2007 года для 12-летний школы поступает иначе. А именно, в третьем разделе под названием «Правильные многоугольники. Длина окружности. Площадь круга» он выделил отдельные параграфы:

16 Определение правильного многоугольника. Сумма углов многоугольника.

17 Центр правильного многоугольника.

18 Построение некоторых правильных многоугольников, вписанных в окружность.

19 Выражение элементов правильного многоугольника через радиус вписанной или описанной окружности.

Далее в этом разделе приводятся параграфы, связанные с длинной окружности и площадью круга.  В издании Рогановского 1997 года для 11-летки, автор выделил отдельную десятую главу под названием «Правильные многоугольники».  В конце учебного пособия за 2007 год в части «Дополнительный материал» автор приводит раздел «Практические применения теории правильных многоугольников».

Атанасян выделяет в главе «Длина окружности и площадь круга» раздел «Правильные многоугольники», куда помещает 3 пункта:

- правильный многоугольник;

- окружность, описанная около правильного многоугольника;

- формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности.

Шарыгин поступает аналогично Шлыкову.

В учебном пособии Шлыкова дано опрделение правильного многоугольника в седующей формулировке: правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.

У Рогановского похожее определение: выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны и все углы равны.

Гвоздович поступает так же как и Шлыков, только он не выделяет в своем пособии эту формулировку именно как определение. Это слово у него не присутствует. Это можно назвать недостатком, т.к. ученики лучше реагируют на такого рода «якоря». У Солтана аналогичная другим учебным пособиям формулировка и он дает ее в самом начале параграфа как «определение», выделенное другим шрифтом.

После определения Шлыков советует вспомнить ранее пройденный материал, где была доказана теорема о том, что сумма углов любого выпуклого n-угольника равна 180°(n-2). Автор замечает, что каждый угол правильного n-угольника равен

И дальше приводит пример:

для правильного шестиугольника ;

для правильного восьмиугольника .

Рогановский же выделяет два утвержения в следствия из теоремы о сумме углов треугольника. И ниже доказывает одно из них, а второе предлагает доказать самостоятельно. Гвоздович так же как и Шлыков приводит эти утверждения в тексте не выделяя для них отдельного следствия.

Таким образом, все  авторы, кроме Солтана, дают этот материал. У Солтана в теоретической части это не присутствует, но в конце параграфа в списке задач он предлагает вывести формулу для вычисления угла правильного многоугольника в зависимости от числа его сторон (задача №288). Так же у него есть такие задачи, как № 296: найдите углы правильного семиугольника.

Шлыков второй пункт посвящает окружности, описанной около правильного многоугольника и дает определение: окружность называется описанной около многоугольника, если все его вершины лежат на этой окружности. При этом многоугольник называется вписанным в окружность. Далее формулирует теорему, которой дает название – об окружности, описанной около правильного многоугольника. Формулировка такая: около любого правильного многоугольника можно описать окружность и притом только одну. Нужно отметить, что для учеников очень полезно давать названия для теорем, а не просто присваивать им номера. Так им будет проще ориентироваться в материале и запоминать его. Далее идет доказательство этой теоремы.

Третий пункт посвящен окружности, вписанной в правильный многоугольник. Так же формулируетя теорема, которая носит название – об окружности, вписанной в правильный многоугольник: в любой правильный многоугольник можно вписать окружность и притом только одну. И теоремы и их названия выделены разными шрифтами, что очень полезно.

В учебном пособии Рогановского, автор приводит теорему и выделяет в ней два пункта: 1. Около правильного многоугольника можно описать окружность.

2. В правильный многоугольник можно вписать окружность.

И доказывает эти, фактически, две теоремы.

Отрицательным в таком виде подачи материала является то, что нет названий к теоремам.

Гвоздович дает, так же как и Шлыков, две отдельные теоремы для описанной и вписанной окружности и говорит их названия. Солтан приводит формулировки и первой и второй, но доказывает только теорему о описанную окружность. Теорему о вписанной окружности предлагает доказать самостоятельно. И у него нет названий теорем.

Четвертый пункт у Шлыкова называется «Выражение элементов треугольника через радиус вписанной или описанной окружностей», где автор выделяет пять пунктов с соответствующими формулировками:

1) Площадь S правильного n-угольника, описанного около окружности, можем найти через периметр P и радиус r вписанной окружности по формуле .

 

2) Сторона  правильного n-угольника выражается через радиус r вписанной окружности по формуле  .

 

3) Сторона  правильного n-угольника выражается через радиус R описанной окружности по формуле .

 

4) Площадь S правильного n-угольника можем найти по формуле .

 

5) Радиус r вписанной окружности выражается через радиус R описанной окружности по формуле .

 

Все 5 пунктов доказываются.

У Рогоновского в параграфе с таким же названием, как и у Шлыкова, выделены только 3 пункта, первый и третий пункты такие же как и третий и четвертый у Шлыкова, а второй формулируется следующим образом:

периметр  правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса R, находится по следующей формуле .

Далее предлагается самостоятельно доказать формулы для сторон, периметра и площади правильного n-угольника, описанного около окружности радиуса r:

 

, , .

У Гвоздовича без выделения отдельных пунктов, непосредственно в тексте выводятся формулы:

, , , .

Так же у этого автора выводятся формулы для сторон правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника.

Солтан в своем учебном пособии разбирает 2 задачи, которые формулирует следующим образом:

1) Найти длину стороны правильного многоугольника, если радиус окружности, описанной около него, равен R.

2) Найти длину стороны правильного многоугольника, если радиус окружности, вписанной в него, равен r.

Так же он приводит формулы для площадей с указаниями для доказательства.

Теперь рассмотрим вопрос о построении правильных многоугольников. В учебном пособии Шлыкова решаются задачи:

1) Постройте правильный треугольник, вписанный в данную окружность.

2) Постройте правильный шестиугольник, сторона которого равна данному отрезку a.

К задачам приведены 6 иллюстраций с пошаговой демонстрацией построений.

Рогановский рассматривает большее количество задач, одна из которых такая же как первая у Шлыкова, а остальные:

1) Постройте правильный шестиугольник, вписанный в окружность.

2) Постройте правильные десятиугольник и пятиугольник, вписанные в данную окружность.

Задачу о построении квадрата, вписанного в окружность и выражении его сторон через радиус описанной окружности предлагается решить самостоятельно. Также Рогановский выводит 3 следствия:

1) Сторона правильного вписанного шестиугольника равна радиусу описанной окружности.

2) Сторона правильного треугольника выражается через радиус описанной окружности следующим образом:   .

3) Стороны правильных десятиугольника и пятиугольника, вписанных в окружность радиуса R, выражаются через радиус следующим образом:

, .

Отрицательным является то, что у автора к 3 решенным задачам только 4 иллюстрации.

Гвоздович рассматривает задачи о построении правильного шестиугольника, сторона которого равна данному отрезку и дает короткие указания. Так же он приводит такую задачу с указаниями к решению: дан правильный n-угольник. Постройте правильный 2n-угольник. У этого автора только одна иллюстрация ко второй задаче.

Солтан вообще в теоретическом материале не предлагает задач на построения, но он дает их для самостоятельного решения в списке упражнений после параграфа(задача №306: постройте правильный шестиугольник по отрезку, равному его меньшей диагонали, №321: постройте правильный двенадцатиугольник, №331: постройте правильный пятиугольник со стороной а и найдите его площадь) .

В учебном пособии Рогановского так же присутствует раздел, посвященный интересным фактам из истории развития проблемы построения правильных многоугольников. Это всегда вызывает большой интерес у школьников и делает материал более разнообразным.

Таким образом, в разделе о построениях положительным является: наличие большого количества иллюстраций с пошаговой демонстрацией построений, выделение основных следствий из решенных задач, наличие интересных исторических сведений.

 

 

1.2 Сравнительная таблица для учебных пособий разных авторов по теме «Правильные многоугольники»

 

	В.В. Шлыков	Н.В. Гвоздович	Н.М. Рогановский	Г.Н. Солтан
Наличие отдельного параграфа, пункта	+	+	+	+
Формулировка «правильный многоугольник»	+	_	+	+
Наличие формулы для суммы углов выпуклого n-угольника	+	+	+	_
Наличие формулы для угла правильного n-угольника	+	+	+	_
Приводятся ли названия теорем об описанной и вписанной окружностях	+	+	-	-
Доказательство теоремы об описанной окружности	+	+	+	-
Доказательство теоремы о вписанной окружности	+	+	+	+
Наличие  и доказательство	+ +	+ +	- -	+ -
Наличие и доказательство	+ +	+ +	+ -	+ +
Наличие и доказательство	+ +	+ +	+ +	+ +
Наличие и доказательство	+ +	- -	+ +	+ -
Наличие и доказательство	+ +	+ +	- -	- -
Наличие и доказательство	- -	- -	+ +	- -
Построение правильного треугольника вписанного в данную окружность	+	-	+	-
Построение правильного шестиугольника по стороне	+	+	-	-
Построение правильных 10-угольника и 5-угольника	- -	+ +	- -	- -