Тесты для студентов по теме «Правильные многоугольники»

 

Вариант 1.

1. Закончить предложения: а) «Правильным многоугольником называется …»

б) «Угол правильного шестиугольника равен…»

2. Перечислите все известные вам формулы для сторон и площади правильного n-угольника.

3. Перечислите главные методические проблемы при изложении темы «Правильные многоугольники»

4. Отметить важные отличия при изложении материала «Выражение элементов треугольника через радиус вписанной или описанной окружностей» разными авторами.

Вариант 2.

1. Закончить предложения: а) «Выпуклый многоугольник называется правильным, если… »

б) «Угол правильного восьмиугольника равен…»

2. Перечислите все известные вам формулы для периметра и радиуса вписанной окружности правильного n-угольника.

3. Перечислите главные методические проблемы при изложении темы «Правильные многоугольники»

4. Отметить важные отличия при изложении материала «Построение правильных многоугольников» разными авторами.

План-конспект урока 1: «Правильные многоугольники»

 

Класс: 10

Учебное пособие: Н.В.Гвоздович, Т.П.Кубеко «Геометрия, 10»

 

Цели:

1. Знать определения правильных многоугольников, уметь строить правильный четырёхугольник, шестиугольник, 2n-угольник.

2. Воспитывать аккуратность, эстетичность, умение оценивать результаты своего труда и труда одноклассников.

 

Тип урока – комбинированный.

 

Оборудование: плакат-правильные многоугольники; чертёжные принадлежности;

Ход урока.

 

1. Целеполагание.

На доске изображены рисунки, получившиеся в результате комбинаций правильных многоугольников. Какой, на ваш взгляд, самый удачный рисунок? Где можно использовать на практике подобные комбинации многогранников? (Мoжно оформить таким орнаментом потолочную плитку или паркетный пол).

Возможно ли каждому из вас построить свой орнамент? Что для этого нужно уметь делать? (Уметь строить правильные многоугольники). Построение правильных многоугольников с целью создания своего орнамента – цель нашей работы сегодня.

2. Актуализация знаний.

Что называется правильным треугольником, четырёхугольником, n-угольником? (многоугольник с равными сторонами и углами – правильный).

Чему равна сумма углов в правильном треугольнике, четырёхугольнике, шестиугольнике, n-угольнике? (180º; 360º; 720º; 180º (n-2))

Чему равен каждый угол в правильном n-угольнике?

Как построить биссектрису угла, серединный перпендикуляр к отрезку с помощью циркуля и линейки? (Повторить построение, работая у доски, учащиеся – в тетрадях)

3. Изложение нового.

1) Можно около правильного треугольника описать окружность. Сделаем это. Центр окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Соединим точки пересечения серединных перпендикуляров с окружностью?

Какой получился многоугольник? (правильный шестиугольник) Докажем это.

C

B                    D

 

                       А                    E

 

 

∆ АВС = ∆ ЕDС (по стороне и двум прилежащим к ней углам: АС = ЕС; В треугольниках АВС и ЕDС перпендикуляры – серединные, значит они – равнобедренные и А = С, С = Е, а т. к . АВС= СDЕ (на них опираются равные углы А и С в ∆ АСЕ), то равны и половины этих дуг, а значит, ВС = СD, и А = Е.

2) Измерим сторону получившегося шестиугольника и радиус окружности. Они приблизительно равны. Позднее мы докажем, что R=а .

3) Построим окружность, проведём диаметр АС, проведём серединный перпендикуляр к нему. Соединим точки пересечения перпендикуляра и окружности. Получившаяся фигура ABCD - квадрат. Докажем это. (Углы, опирающиеся на диаметр - прямые, стороны равны в силу равенства, например, 4-х прямоугольных треугольников по двум катетам).

4)Как построить правильный восьмиугольник? (Провести серединные перпендикуляры к сторонам квадрата и соединить их точки пересечения и окружности)

4.Закрепление.

Что необходимо для создания орнамента?

- Построить правильные многоугольники, зная, что R=а ;

- Восьмиугольник строится с помощью серединных перпендикуляров к сторонам квадрата, вписанного в окружность.

Построим вначале шаблоны правильных многоугольников и начнём построение орнамента.

Пример орнамента:                           

5.Задание на дом.

Закончить построение орнамента.

№384(а,б).(Н.В.Гвоздович)

Анализ урока.

Данный урок является первым уроком по теме «Правильные многоугольники», на нём вводятся термины, даётся их определения (многоугольник, правильный многоугольник).

Цели урока:

1. Знать определения правильных многоугольников, уметь строить правильный четырёхугольник, шестиугольник, 2n-угольник.

2. Воспитывать аккуратность, эстетичность, умение оценивать результаты своего труда и труда одноклассников.

Структура урока – традиционна. На этапе целеполагания мотивационной основой деятельности учащихся служит её практическая направленность (научится строить правильные многоугольники, чтобы создать красивый, оригинальный орнамент).

В устной работе первой части урока запланировано решение задач, направленных на активизацию мысли ребят. Дети поставлены в условия, в которых вынуждены анализировать, сравнивать, делать выводы. Эта часть урока направлена на повторение знаний, необходимых для изучения нового материала.

На этапе изложения нового материала мотивационной основой работы учащихся служит доступный уровень сложности, а также наличие внутрипредметных связей (Построение серединного перпендикуляра к отрезку, построение треугольника) и межпредметных связей (с черчением).

На всех этапах урока учитываются психологические особенности познавательной деятельности учащихся. В связи с этим применяется наглядный материал (плакат с изображением правильных многоугольников, заготовленные орнаменты из правильных многоугольников, всё, что выполняют учащиеся в тетрадях, демонстрируется на доске с параллельными комментариями хода действий). Учащиеся применяют свой жизненный опыт, отвечая на вопрос, где используются комбинации правильных многоугольников.

Результатом работы на данном уроке явились сделанные картонные модели правильных многоугольников, необходимые для выполнения домашней работы – сделать макет, например, паркета или потолочной плитки.

 

План-конспект урока 2 «Правильные многоугольники. Математический диктант»

 

Класс: 10

Учебное пособие: В.В. Шлыков

1. Проверка д/з.

2. Математический диктант (на листочках; 10 – 15 минут).

1) Могут ли стороны выпуклого шестиугольника иметь длины:

1, 2, 3, 4, 5 и 14 см [Да] | 1, 2, 3, 4, 5 и 16 см [Нет]

2) Найдите сумму углов выпуклого

32 – угольника [5400°] | 17 – угольника [2700°]

3) Найдите количество сторон выпуклого многоугольника, сумма углов которого равна: 9000° [52] | 18000° [102]

4) Укажите общий вид выпуклых многоугольников, у которых все внешние углы:

тупые [остроугольные треугольники] | прямые [прямоугольники]

5) Укажите общий вид выпуклых многоугольников, у которых сумма внутренних углов

равна сумме внешних [четырехугольники] | меньше суммы внешних [треугольники], взятых по одному при каждой вершине.

6) Существует ли выпуклый многоугольник, у которого:

три острых и один прямой угол? [Нет]| три прямых и один острый угол? [Нет]

7) Существует ли выпуклый n – угольник, у которого:

65 диагоналей? [Да, n = 13] | 27 диагоналей? [Да, n = 9]

3. Новый материал и устные упражнения.

Рис. 1

Определение. Многоугольник называется правильным, если у него равны все стороны и равны все углы.

1) Примеры? [квадрат; равносторонний треугольник]

2) Существуют ли неправильные многоугольники с равными а) сторонами; б) углами? [Да; а) ромб; б) прямоугольник]

3) Каким свойством обладают внешние углы правильных многоугольников? [равны]

4) Дан правильный 2n – угольник (см. рис. 1). Докажите, что если его вершины соединить через одну, то получится правильный n – угольник [равенство треугольников].

5) Выведите формулы для вычисления величин внутреннего и внешнего углов правильного n – угольника [a_n = ; b_n = ]

6) Является ли какая - либо из этих последовательностей прогрессией? [Нет; вид формул]

7) Найдите количество сторон правильного n – угольника, если его внешний угол равен: а) 15°; б) 75° [а) 24; б) не существует]

8) Найдите количество вершин правильного n – угольника, если его внутренний угол равен а) 172°; б) 100° [а) 45; б) не существует]

9) Найдите количество углов правильного n – угольника, если сумма его трех внешних и пяти внутренний углов равна 756° [5a_n + 3b_n = 756 Û n = 5]

Домашнее задание: Выучите формулы a_n и b_n; докажите, что (a_n) – возрастающая последовательность, а (b_n) – убывающая. Медиана АА₁, высота ВВ₁ и биссектриса СС₁ треугольника АВС пересекаются в одной точке. Докажите, что длины a, b и c соответствующих сторон треугольника удовлетворяют равенству: (а² + b² – c²)(a + b) = 2ab².