Статья «Решетки и правильные многоугольники»

К курсовой работе прилагается распечатанная статья из журнала «Квант» №12, которая будет интересна для проведения факультативных занятий по теме «Правильные многоугольники».

В этой статье разбираются три тесно связанные между собой вопроса.

1) Можно ли расположить правильный n-угольник на листе линованной бумаги - в прямую или косую клетку – так, чтобы его вершины попали в точки пересечения линий?

2) При каких углах α, соизмеримых с полным – то есть содержащих целое или рациональное число градусов, значения синуса, косинуса или тангенса α рациональны?

3) В какие положения может попасть центр правильного n-угольника, который разрешается перекатывать по плоскости?

Динамические модели

Модель «Правильный многоугольник»

Модель предназначена для изучения симметрии правильных многоугольников.

При загрузке модели на экране появляется правильный многоугольник (8-угольник) с центром в точке O, разбитый на равнобедренные треугольники с острым углом φn, количество которых равно числу вершин многоугольника. С помощью кнопок в нижней части экрана можно выбирать количество вершин многоугольника. Один из треугольников выделен серым цветом, вращая его курсором мыши вокруг точки O, можно наглядно наблюдать, что исходный многоугольник состоит из равнобедренных треугольников, получающихся из исходного поворотом вокруг центра (точки O) на определённый угол, равный 360o/n.

Кнопка "Сброс" в правом нижнем углу окна возвращает модель в исходное состояние.

Модель «Теорема о центре правильного многоугольника»

Модель предназначена для иллюстрации доказательства теоремы о центре правильного многоугольника.

Теорема. Если все стороны многоугольника равны друг другу и все его углы равны друг другу, то вокруг этого многоугольника можно описать окружность и в него можно вписать окружность. Центры этих окружностей совпадают.

Исходно в окне модели отображается правильный пятиугольник ABCDE. Кнопки в нижней части экрана позволяют менять n- число вершин многоугольника. Точки A, B - активны. "Клик" курсором мыши на этих точках строит биссектрисы углов A и B, которые пересекутся в некоторой точке O. Точка O также активна. "Клик" по этой точке соединяет ее отрезками со всеми вершинами многоугольника ABCDE. Покажем, что эти отрезки разобьют многоугольник на равные друг другу равнобедренные треугольники. Треугольник OAB равнобедренный, так как его углы, прилежащие к стороне AB равны (как половины равных углов A и B многоугольника ABCDE). Треугольник OBC равен треугольнику OAB (BC=BA, сторона OB - общая, и угол OBA равняется углу OBC, т.к. BO - биссектриса угла B). Потому треугольник OBC тоже равнобедренный и OB=OC, а угол OBC равен углу OCB. Значит угол OCB равен половине угла C и луч OC - биссектриса угла C. Повторяя эти рассуждения, убеждаемся, что треугольники OCD, ODE и OEA - равнобедренные треугольники, равные треугольнику OAB. Поэтому окружность с центром в точке O и радиусом OA описана вокруг многоугольника ABCDE, а окружность с центром O и радиусом OH (OH - высота треугольника OAB) вписана в него.

После "клика" по точке O треугольник OAB выделяется цветом, становится активным и способным вращаться вокруг своей вершины O. "Цепляя" этот треугольник курсором мыши и последовательно совмещая с другими треугольниками, можно убедиться в его равенстве с треугольниками: OBC, OCD и т.д. При этом в нижней части окна модели появляются кнопки, с помощью которых можно отображать и скрывать вписанную и описанную вокруг многоугольника окружности.

Кнопка "Сброс" в правом нижнем углу окна возвращает модель в исходное состояние.

Исторические сведения для учеников и студентов по теме       «Правильные многоугольники»

Очень важной проблемой для учителя математики часто становится проблема заинтересованности учениками предметом. Тема «Правильные многоугольники» дает прекрасную возможность показать учащимся, что математика – это не «сухая» наука. Очень много научной и художественной литературы предлагают на своих страницах информацию из истории, которая обязательно должна стать интересной детям и, возможно, дать повод для дальнейшего углубленного изучения математики.

Дополнительный материал, который можно использовать как на уроках математики, так и на дополнительных занятиях, приведен в  приложении к курсовой работе. Так же будет очень эффективной организация уроков математики совместно с уроками мировой художественной культуры, литературы, музыки и истории. Материал может быть полезен для проведения школьных конференций, олимпиад, конкурсов и праздников.

Заключение

Таким образом, в курсовой работе проведен анализ учебных пособий разных авторов, в частности: В.В.Шлыков, Н.В.Гвоздович, Н.М Рогановский, Г.Н. Солтан. Существуют следующие методические проблемы при изучении данной темы:

1) проблема наглядности, т.е. данная тема требует большого количества иллюстраций, демонстраций графических построений, динамических моделей преобразований;

2) проблема рассмотрения большого количества разных типов задач в условиях ограниченности учебного времени и возможностей учебного пособия;

3) проблема заинтересованности учеников темой. Имеется очень много дополнительной литературы и интересных исторических сведений по теме, которые, если авторы не предлагают их в своих учебных пособиях, учитель должен преподносить на уроке , по возможности, в начале либо в процессе изучения темы.

4) проблема развития эстетического вкуса и творческого мышления.

Также приведена подборка интересной исторической информации о правильных многоугольниках, которую можно предлагать ученикам на уроке и использовать в качестве пособия для проведения факультативных занятий.

Предлагаются примеры планов-конспектов уроков и самостоятельных работ, которые могут быть использованы студентами во время практики в школе.

К курсовой работе  прилагается  диск с разработанными презентацией и flash-программами по теме, с помощью которой можно проводить очень интересные уроки, соответствующие современным требованиям.