Приближенное нахождение квазирешений

 

В предыдущем параграфемы видели, что нахождение квазирешения связано с нахождением элемента в беско­нечномерном пространстве. Для приближенного нахожде­ния квазирешения естественно переходить к конечномер­ному пространству. Можно указать достаточно общий под­ход к приближенному нахождению квазирешений урав­нения (2; 0,1) , в котором А—вполне непре­рывный оператор.

Будем полагать, что выполнены указанные в 2.2. дос­таточные условия существования единственного квазире­шения на заданном множестве М, т. е. полагаем, что множество М — выпуклый компакт и сфера в пространст­ве U строго выпукла. Пусть

                           M₁ Ì M₂ Ì...Ì M_n Ì...

— возрастающая цепочка компактных замкнутых множеств М _n такая, что замыкание их объединения  совпадает с М. Квазирешение уравнения (2; 0,1) сущест­вует на каждом множестве М _n . Но оно может быть не единственным. Обозначим через Т _n совокупность всех квазирешений на множестве М _n .

Покажем, что в качестве приближения к квазиреше­нию z¹ на множестве М можно брать любой элемент z¹_n из Т _n .  При этом

Пусть N_n = АМ _n и В _n — множество проекций элемен­та и на множество N_n . Очевидно, что В _n = АТ _n  и N₁ Í N₂ Í …Í N_n; тогда

       r _U(u,N₁)>= …>=r _U (u,N_n)>=… r _U (u,N)= r _U (u,Az¹) .                    (2;3,1)

 

Так как множество всюду плотно на N, то для всякого e >0 найдется такое число n₀(e), что для всех п >n₀(e)                                     

                 r_U(u,N_n)< r_U(u,N)+ e                            (2; 3,2)

Из (2; 3,1) и (2; 3,2) следует, что

                                       (2;3,3)

Поскольку то

                                                                                                         (2;3,4)   

Каждое множество В _n есть компакт, так как оно является замкнутым подмножеством компакта N_n. Поэтомув В _n  найдется такой элемент у_n , что

r_U(y_n ,u) = inf r_U(y,u)

             yÎB_n

Последовательность {y_n} имеет хотя бы одну пре­дельную точку, принадлежащую N, так как N — компакт. Пусть у ₀ — какая-нибудь предельная точка множества {y_n} и {уn_k} — подпоследовательность, сходящаяся к y₀ , т. е.

Из (2; 3,3) и (2; 3,4) следует, что

Таким образом,

r_U(u,y₀)= r_U(u,N).

Отсюда и из единственности квазирешения на множестве М следует, что

y₀=Az¹.

Так как у ₀ — произвольная предельная точка множества {y_n}, то последовательность {у_n} сходится к А z¹. Это и означает, что в качестве приближения к квазирешению мож­но брать любой элемент z¹_n из множества Т_п , так как в силу леммы параграфа 2.1. z¹_nàz* при nà¥.

Если в качестве М_п брать конечномерные (n-мерные) множества, то задача нахождения приближенного квази­решения на компакте М сводится к минимизации функ­ционала r_U(Az, u) на множестве М_п , т. е. к нахождению минимума функции п переменных.

2.4. Замена уравнения А z = u близким ему

Уравнения вида (2; 0,1), в которых правая часть u не принадлежит множеству N=AM, изучались М. М. Лав­рентьевым . Ему принадлежит идея замены исходного уравнения (2; 0,1) близким ему, в некотором смысле, уравнением, для которого задача нахождения решения устойчива к малым изменениям правой части и разрешима для любой правой части u ÎU. В простей­шем случае это делается следующим образом.

Пусть F ºU ºН — гильбертовы пространства, А — линейный, ограниченный, положительный и самосопря­женный оператор, S_R º {х, ||x||<=R, xÎF} есть шар радиуса R в пространстве F, В — вполне непрерывный оператор, определенный на S_R при любом R > 0. В ка­честве класса корректности М берется множество D_R=BS_R — образ шара S_R при отображении с помощью оператора В. Предполагается, что искомое точное решение z_T уравнения (2; 0,1) с правой частью u=u_T существует и принадлежит множеству D_R. Уравнение (2; 0,1) заме­няется уравнением

                          (A+aE)z º Az+az=u ,                                    (2:4,1)

где a>0 – числовой параметр. Решение уравнения

                              z_a=(A+aE)^-1u ,                                             (2; 4,2)

при соответствующем выборе параметра a, принимается за приближенное решение уравнения (2; 0,1). Здесь Е — единичный оператор.

Замечание. Для оценки уклонения r_F(z_T,z_d) приближенного решения от точного можно использовать мо­дуль непрерывности w обратного оператора на N.

Пусть u₁, u₂ Î N и r_U(u₁,u₂)<= d. Тогда

       w(d,N)= sup r_F(A^-1u₁,A^-1u₂).

                                        u₁,u₂ ÎN

Очевидно, что если r_U(u_T,u_d)<= d и z_d=A^-1u_d , то

                                                    r_F(z_T,z_d)<=w(d,N).

Вернемся к уравнению (2; 4,1). Если || Az ||<=d и w(d,D_R) = sup || z ||, то легко

                                                                                                             D_R

получить оценку уклонения z_a от z_T. Очевидно, что

             || z_a - z_T ||<=||z_a¹ - z_T|| + ||z_a - z_a¹||,                                 (2;4,3)

где

z_a¹=(A + aE)^-1u_T.

Следовательно,

||z_a - z_T||<=w(d,D_R) + d/a.                              (2;4,4)

Если известен модуль непрерывности w(d,D_R) или его мажоранта, то из (2; 4,4) можно найти значение пара­метра w как функцию d, при котором правая часть в не­равенстве (2; 4,4) будет минимальной.

Метод квазиобращения

2.5.1. Известно, что задача Коши для уравнения тепло­проводности с обратным течением времени является не­устойчивой к малым изменениям начальных значений. Неустойчивость сохраняется и в случаях, когда решение подчиняется некоторым дополнительным граничным усло­виям. Для устойчивого решения таких задач разработан метод квазиобращения . Мы изложим существо его для простейшего уравнения теплопроводности, не вда­ваясь в вопросы обоснования. Подробное изложение в применении к более широкому классу задач содержится в .

2.5.2. Рассмотрим прямую задачу. Пусть D — конечная область n-мерного евклидова пространства Rⁿ точек x = (x₁, x₂, ..., x_n), ограниченная кусочно-гладкой по­верхностью S, a t — время. Пусть, далее, j(x) — заданная непрерывная в D функция. Прямая задача состоит в на­хождении решения u= u(x,t) уравнения

 

                                                              (2;5,1)

 

в области G º {x Î D, t > 0}, удовлетворяющего гранич­ным условиям

u(х, t) =0 при xÎS                                                (2; 5,2)

и начальным условиям

u(x, 0)= j(x).                                                        (2; 5,3)

 Здесь

Известно, что решение такой задачи существует. Каждой функции j(x)ÎC отвечает решение задачи (2; 5,1)— (2; 5,3). Будем обозначать его через u(х, t; j).

Обратная задача состоит в нахождении функции j(х)по известной функции u(х,t; j). В реальных задачах функция u(x,t;j) обычно получается в результате изме­рений и, следовательно, известна приближенно. Будем по­лагать, что uÎL₂. Такая функция может и не соответст­вовать никакой «начальной» функции j(х). Таким обра­зом, может не существовать в классе функций С решения обратной задачи. Поэтому будем рассматривать задачу нахождения некоторого обобщенного решения обратной задачи.

Пусть заданы число T > 0 и функция y(x), опреде­ленная в области D,y(x) ÎL₂. На функциях j(х) класса С определен функционал

Обобщенным решением обратной задачи будем называть функцию j(х)., на которой достигается

                                                         f₀=inf f(j)

   jÎC

Замечание. «Естественный» подход к решению этой задачи — выбрать функцию j(х).так, чтобы f(j)=0 .

Для этого достаточно найти решение прямой задачи

               

u(x, t) = 0 для х Î S,  0 < t < T;

u(x,T) = y(x)

и положить j (x) = u(x,0). Но такая задача при задан­ной функции y(x) из L₂, вообще говоря, неразрешима и, кроме того, неустойчива к малым изменениям функ­ции y(x).

На некотором классе обобщенных функций j (x) f₀=0 . Поэтому рассматривается задача на­хождения приближенного значения f₀ с заданным уровнем погрешности.

Для заданного числа e > 0 найти функцию j_e(x), на которой f (j_e)<=e.

Эта задача и решается методом квазиобращения.

Идея метода квазиобращения состоит в том, что вмес­то оператора теплопроводности   находится «близ­кий» ему оператор В_a , для которого задача с обращением отсчета времени

B_au_a = 0, x ÎD, t < Т, a > 0;

u_a (x,T)= y(x);

u_a (x,t) = 0 для xÎ  S, t< Т

устойчива. Решив эту задачу, полагают j (x)=u_a(x,0). Обычно в качестве оператора В_a берут оператор  и решают прямую задачу

 

xÎ D,     t<T,     a>0;

                                                   u_a (x,T)= y(x);

 

                 u_a (x,t) = 0 для xÎ  S, 0< t<= Т

                       Du_a=0 для xÎ  S, 0< t<= Т.

 

Затем полагают

                              j (x)=u _a (x,0).

Следует отметить, что u_aне сходится в обычном смыс­ле при a à0.