Мегаобучалка Главная | О нас | Обратная связь  


Из истории метаматематических исследований во Львовско-варшавской школе




 

 

Первой публикацией в области метаматематики является книжка К. Айдукевича "Из методологии дедуктивных наук". Правда, термин "метаматематика" в ней не используется и автор уже много позже, в 1960 г., все еще определяет ее как "первую польскую работу в области методологии дедуктивных наук, остающуюся под влиянием математической логики". Термин "метаматематика" вошел в обиход в школе, главным образом в ее варшавской части, основной состав которой составляли математики с философской родословной, обязанной "апостатам" философии - Лесьневскому и Лукасевичу. Однако следует заметить, что в польском восприятии этот род занятий определялся как методология дедуктивных наук. А.Тарский - ученик Лесьневского оказался главным действующей фигурой в проведении метаматематических исследований, которые должны были свободный стиль комментариев к логической системе преобразовать в точные методы изучения этих систем путем разделения уровней языка на язык-объект и метаязык. В проекте метаматематики Тарский учитывал идеи Гильберта, который провозглашал создание теории дедуктивных систем под названием "метаматематики". Свое видение метаматематики Тарский изложил следующим образом: "Дедуктивные дисциплины в том смысле составляют предмет методологии дедуктивных наук, которая сегодня вслед за Гильбертом называется метаматематикой, в каком пространственные объекты являются предметами геометрии, а звери - зоологии. Естественно, не все дедуктивные дисциплины представлены в форме, пригодной для научных исследований. Например, непригодны те, которые не основаны на определенном логическом базисе, не имеют точных правил вывода и утверждения которых, как правило, сформулированы в многозначных и нечетких терминах естественного языка, одним словом те, которые не формализованы. В конечном счете метаматематические исследования ограничиваются дискуссиями о формализованных дедуктивных дисциплинах. Короче говоря, метаматематика не должна считаться единой теорией. С целью исследования каждой дедуктивной теории может быть построена специальная метадисциплина. Однако эта стадия имеет более общий характер: целью в ней является уточнение ряда важных метаматематических понятий, которые общи отдельным метадисциплинам, и определение основных свойств этих понятий. Одним из результатов этого исследования является то, что некоторые понятия, которые могут быть определены с помощью отдельных метадисциплин, здесь будут рассмотрены как первичные понятия и охарактеризованы последовательностью аксиом".  В этом высказывании важным является стремление использовать точные методы в методологии, применение которых диктуется самим предметом - дедуктивными дисциплинами. В этом смысле намерения Тарского совпадали со стремлением Гильберта, однако в вопросе точности методов имеются и расхождения. Метаматематика развивалась Гильбертом в связи с доказательствами непротиворечивости, тогда как в варшавской школе метаматематические исследования не определялись достижением каких-либо конкретных целей, а состояли в уточнении главным образом семантических понятий. Кроме того, и это особенно важно подчеркнуть, Гильберт в метаматематических исследованиях допускал использование только финитных методов, составляющих ядро его программы формализма, тогда как "методология дедуктивных наук" понималась в Варшаве независимо от той или иной философии математики и была направлена на формализацию отдельных семантических понятий с единственной, пожалуй, целью - освободиться от парадоксов, антиномий и прочих химер, препятствующих введению точных методов в методологию вообще, и дедуктивных наук в частности.



 

Обращаясь к творчеству Тарского как одного из создателей матаматематики нельзя не подчеркнуть роль Лесьневского, установок которого в методе его ученик придерживался неукоснительно, что вовсе не означает приверженности Тарского, например, к концепции радикального номинализма, которую он перестал разделять именно в процессе развития методологии дедуктивных наук. Основным методом, оказавшимся достаточно универсальным, а тем самым пригодным для построения метаматематики было определение. Определения послужили инструментом Тарскому и при написании одной из его первых работ - "О первичном выражении логистики"  (докторская диссертация), они же явились высшей и конечной целью его метаматематических исследований, как например, определение понятия истинного предложения. В диссертации еще невозможно найти разделение уровней языка, а комментарии к утверждениям заменяют собой по сути их доказательство, но шаг за пределы логической системы, названный позже методологическим, сделан. Во вступлении к докторским тезисам Тарский пишет: "Я не провожу свои рассуждения на основе какой-то определенной системы логистики" . Но не смотря на эту оговорку "логическую теорию типов" Лесьневского он считает безупречной возможно потому, что ее развитие происходит путем определений, ведь именно их Тарский выбирает в качестве средства решения поставленной задачи: "Можно ли построить логическую систему, принимая знак эквивалентности как единственное первичное выражение (очевидно, кроме квантификаторов)". Совершенно очевидно, что это вопрос метатеоретического исследования Прототетики Лесьневского, однако сформулированный уже безотносительно к самой системе, которая служит источником инспираций при введении прочих логических понятий, в том числе констант "истина" и "ложь", отсутствующих у Лесьневского. (Роль константы "истина" у Лесьневского косвенно представляли предложения Онтологии). Следует особенно подчеркнуть, что Тарский не прибегает к какому-либо отдельному знаку "по определению" для введения необходимых ему констант, но, как Лесьневский, использует эквивалентность. Основное утверждение его работы составляет предложение, определяющее конъюнкцию, тогда как все прочие логические знаки вводятся на основании этого знака и принятых дефиниций

 

Дальнейшее изложение посвящено изучению свойств истинностнозначных функций, аргументами которых являются предложения, в частности функций подстановки. В связи с этим вопросом Тарский замечает, что "Лесьневский сконструировал некоторый общий метод, который позволяет элиминировать из языка функции, не являющиеся истинностнозначными функциями", однако в примечании добавляет, что этот результат не опубликован.

 

Метаматематические результаты 20-х годов Тарский изложил в двух работах, составивших начальный этап этой новой дисциплины. Существенным достижением в этих исследованиях было формулирование теории присоединения следствий в аксиоматической форме.

 

Пусть X, Y, S, Cn(X), nx, cxy означают соответственно множества предложений X и Y, множество всех предложений S некоторого языка (X и Y суть подмножества множества S), множество логических следствий множества X, отрицание предложения x и импликацию с антецедентом x и консеквентом y. В этих обозначениях аксиомы логической теории присоединения следствий таковы: (1) S £Ào , (2) XÍ Cn(X), (3) Cn(Cn(X))=Cn(X), (4) Cn(X)=$YCn(Y), где Y является конечным подмножеством множества X, (5) $ xCn(x) = S, (6) если x и y принадлежат S, то nx и cxy также принадлежат S, (7) если cxy Î Cn(X), то y Î Cn(X)+{x}, (8) если y Î Cn(X)+{x}, то cxy Î Cn(X), (9) Cn{x,nx}=S, (10) Cn{x}× Cn{nx}=Cn0.

 

Первые пять аксиом - это т.н. общие аксиомы, составляющие первую группу, не учитывающие конкретное исчисление. Аксиома (1) утверждает, что множество S содержит не более, чем перечислимое число предложений, (2) - что каждое множество содержится в множестве своих следствий, (3) - что операция присоединения следствий идемпотентна, (4) - что операция Cn конечна, т.е. если что-либо удается вывести из множества X, то это же удается вывести из его конечного подмножества, (5) - что существует предложение, следствия которого составляют весь язык S. Аксиомы (6)-(10) относятся к дедуктивным системам, использующим двузначную логику. Аксиома (6) говорит о том, что Cn как раз выражает такую логику в импликативно-негативном представлении, (7) - это правило отделения, (8) - теорема дедукции, сформулированная, как информирует Тарский  в 1921 г. в связи с дискуссией, вызванной книжкой Айдукевича,[2] в (9) утверждается, что следствие пары взаимно противоречивых предложений есть множество S и в (10) - что пересечение множества следствий предложения x и множества следствий предложения nx равняется множеству следствий, полученных из пустого множества. Из аксиом (1)-(5) следует, что если X Í Y, то Cn(X) Í Cn(Y) (монотонность операции присоединения следствий), а также Cn(X+Y) = Cn(Cn(X)+Cn(Y)). Множество логических следствий множества X интуитивно понимается как множество доказуемых предложений, выведенных из множества X при помощи принятых правил вывода. Далее Тарский приводит точные определения метаматематических понятий, используемых до тех пор интуитивно: понятия непротиворечивости, полноты, аксиоматизируемости, конечной аксиоматизируемости, независимости; все эти понятия определены для произвольного множества предложений.

 

Понятие дедуктивной системы является весьма важным понятием, позволяющим определить собственно логику как частный случай такой системы. Так множество предложений X будет дедуктивной системой тогда и только тогда, когда Cn(X)=X. Поскольку Тарским доказывается, что для каждого множества предложений X существует множество Y, содержащее X и такое, что Y=Cn(X), то легко заключить, что Cn(0) является наименьшей дедуктивной системой и представляет собой теоретико-множественное пересечение всех дедуктивных систем. Вполне естественным будет считать Cn(0) логикой.

 

Активное участие в исследовании дедуктивных систем принимал Линденбаум. Тарский  приводит несколько важных результатов, касающихся таких систем. Так оказывается, что число всех дедуктивных систем составляет неперечислимое множество, а число всех аксиоматизируемых систем перечислимо. Вместе с тем ни одну систему не удается представить в виде конечной суммы отличных друг от друга систем, а каждое непротиворечивое множество предложений можно расширить до непротиворечивого и полного множества предложений. Правда, утверждение Линденбаума неэффективно, поскольку оно не предоставляет конкретного метода для получения конструкции расширения, а поэтому может служить примером использования таких методов в варшавской логической школе и их отличия от гильбертовской программы построения метаматематики.

 

Для Тарского свойство эффективности построения формул сохранялось implicite в начальном периоде построения матаматематики тем, что он разделял концепцию радикального номинализма Лесьневского. Но он замечает, что в аксиоме (6) предложения не удается трактовать как конкретные материальные объекты и приходится использовать не понятие инскрипции, например, "x", а понятие типа-инскрипции как класса записей эквиморфных "x". Тем самым в метаматематику был введен абстрактный предмет - тип выражения.

 

В работах [1935],[1936] Тарским предложена иная версия метаматематики в форме т.н. исчисления систем. В исчислении систем первичными терминами являются: множество предложений логики L, множество всех предложений S, отрицание n, импликация c. Аксиоматику исчисления систем составляют следующие утверждения: (1) 0 < S £Ào , (2) если x,yÎ S, то nx, cxyÎ S, (3) L Í S, (4) ccxyccyzcxz, ccnxxx, cxcnxy Î L (принадлежность стандартного исчисления L2 к L), (5) если x, cxy Î L, то yÎ L. Если X является множеством предложений, то Cn(X) может быть определено как наименьшее множество, содержащее множества L и X и замкнутое относительно правила (операции) отделения. Из аксиом исчисления систем (1)-(5) и определения отношения следования Тарский выводит аксиомы общей теории следования, а также принимает равенство L = Cn(0). При этом оказывается, что из аксиом общей теории следования и определения L = Cn(0) можно вывести аксиомы исчисления логических систем. Таким образом, обе версии метаматематики эквивалентны, но Тарский считает исчисление систем интуитивно более прозрачным. Тот факт, что логика определяется как множество следствий пустого множества посылок, т.е. общей части всех логических систем подтверждает интуитивные соображения, что логика инвариантна относительно "содержания". Вместе с тем такое определение логики служит также иллюстрацией высказанного выше тезиса о том, что в ней процесс (вывода) = результату, под которым следует понимать логическую форму без какого-либо номиналистического субстрата в духе радикального номинализма, например, Лесьневского. Как кажется, именно так и понимал логику Лукасевич, правда, несколько акцентируя логический процесс как необходимый. Тарский, сотрудничая с обоими основателями варшавской логической школы, более упор делал на результате, нежели на самом логическом процессе. Возможно поэтому им был поставлен вопрос: возможна ли алгебра систем? Оказалось, что этот результат получить можно, если определить сумму систем и их дополнение. Однако такая алгебра не изоморфна алгебре Буля, или же алгебре множеств, являющихся интерпретациями исчисления высказываний. Алгебра систем оказалась изоморфной алгебре Буля, которая служит моделью интуиционистского исчисления высказываний и, в частности, она не содержит закона исключенного среднего. Этот неожиданный результат можно представить следующим образом: отношение между алгеброй множеств и алгеброй систем подобно отношению между классическим и интуиционистским исчислением высказываний.

 

 

Поможем в ✍️ написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой



Читайте также:
Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней...
Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы...
Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе...



©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (111)

Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...

Система поиска информации

Мобильная версия сайта

Удобная навигация

Нет шокирующей рекламы



(0.025 сек.)
Поможем в написании
> Курсовые, контрольные, дипломные и другие работы со скидкой до 25%
3 569 лучших специалисов, готовы оказать помощь 24/7