Теория истинности А.Тарского.

 

 

Семантическая теория истинности является наиболее выдающимся достижением школы не только в области логики, но прежде всего в философии. В определенном, философском смысле, о котором будет сказано ниже, определение истинности является также и завершением семантических исследований в школе, ибо генерализация этого определения касается только формализованных языков, семантика которых определяется понятием модели, а это последнее есть ничто иное, как математическая структура. Таким образом, нет ничего удивительного в том, что Тарский, будучи математиком, к математике же и редуцировал определение истинного предложения: только в ней понятие истины оказалось универсальным, тогда как в естественных языках оно частично. В продолжение этой редукции выявился ряд вопросов семантики, имеющих прежде всего философское значение в виде соотношения двух упомянутых выше парадигм - философии имени и философии предложения. Однако прежде, чем обсуждать определение истинности, данное Тарским , последуем вслед за ним с тем, чтобы подробно проследить мотивы, которым он руководствовался, создавая эту конструкцию логической семантики.

 

В первые десятилетия ХХ ст. семантические понятия (истины, обозначения, определения, выполнения и т.п.) воспринимались с подозрением, поскольку рассуждения с их использованием часто приводили к антиномиям, например, лжеца (Эвбулида), антиномии, использующей выражение "гетерологический" (Греллинга-Нельсона) или определимости при помощи ограниченного числа слов (Ришара). В результате сложившегося положения ученые стремились избегать вопросов семантики и не выходить за границы синтаксиса в своих исследованиях. Полученные же в области семантики результаты были сформулированы в неточных понятиях, используемых часто интуитивно. Поэтому необходимость создания теории семантики как точной дисциплины ощущалась весьма остро. Тот факт, что такая теория возникла в Варшаве неудивителен, поскольку главным ее инструментом стало разделение языка-объекта и метаязыка, введенное implicite Лесьневским. Более того, не только инструмент был предложен Лесьневским, но и само поле исследований было в значительной мере им подготовлено. Об этом свидетельствует одно из первых примечаний Тарского к работе "Понятие истины в языках дедуктивных наук" , в котором он пишет: "Замечания, которые я сделаю в этом контексте, большей частью не составляют достояние моих собственных исследований: в них нашли свое выражение взгляды, развитые г. Ст. Лесьневским в его лекциях в Варшавском университете (начиная с 1919/20 акад. г.), в научных дискуссиях и частных беседах; особенно это относится почти ко всему, что я скажу о выражениях в кавычках и семантических антиномиях". Кроме того, Лесьневскому принадлежит также подробнейшим образом разработанная теория определений, как и другие вопросы семантики, например, денотации (референции) или обозначения, в полной мере используемые Тарским в своей работе. Самому же Тарскому принадлежит использование по существу понятия "выполнения", которое ему было , вероятно, "ближе" как математику.

 

Цель своего исследования Тарский формулирует следующим образом: "Настоящая работа посвящена почти полностью только одному вопросу: проблеме дефиниции истины; ее сущность состоит в том, чтобы, имея в виду тот или иной язык, сконструировать по существу верную и формально правильную дефиницию термина "истинное предложение". Этот вопрос, относящийся к классическим проблемам философии, вызывает немалые трудности: несмотря на то, что существующее обыденное значение этого термина кажется достаточно выразительным и прозрачным, все попытки окончательного уточнения его значения кончались до сих пор неудачей, а рассуждения, в которых выступал упомянутый термин, основанные на интуитивных посылках, неоднократно приводили к парадоксам и антиномиям (которые все же удавалось более или менее удовлетворительно распутывать). С этой точки зрения понятие истины разделило судьбу прочих аналогичных понятий из области т.н. семантики языка".

 

Исходным пунктом для Тарского является "семантическая дефиниция" истины в естественном языке, наиболее приближающаяся к классическому ее определению, которое он заимствует у Котарбинского :

 

(1) истинным предложением является предложение, которое говорит, что дело обстоит так-то и так и дело обстоит именно так.

 

Хотя приведенное высказывание, считает Тарский, несовершенно как с формальной точки зрения, так и с точки зрения очевидности и однозначности используемых в нем понятий, тем не менее "интуитивный смысл и общая интенция этого высказывания кажутся достаточно прозрачными и понятными; задачей семантического определения было бы как раз уточнение этой интенции и выражение ее в безукоризненной форме". Исходным пунктом для дальнейших уточнений (1) могут быть предложения, построенные по следующей схеме:

 

(2) x является истинным предложением тогда и только тогда, когда p.  

 

Схема (2) порождает ряд частичных дефиниций истины, реализуемых тогда, когда символ "p" заменяется некоторым предложением, а "x" - произвольным индивидуальным именем этого предложения. Наиболее часто встречаемой категорией индивидуальных имен, для которых выполняется условие (2), являются имена в кавычках. Примером может служить следующее выражение:

 

(3) "Снег падает" является истинным предложением тогда и только тогда, когда снег падает.

 

И здесь мы встречаемся с первым отступлением Тарского от концепции радикального номинализма Лесьневского, которую он вначале разделял. В частности, Тарский предлагает при помощи именования некоторых морфологических категорий языка выражения в кавычках понимать как общие имена именно морфологии, а не произвольные классы выражений, определяемые эквиморфностью, "поскольку в приведенной интерпретации закавыченные имена должны пониматься как общие имена (а не единичные), обозначающие одновременно как запись, взятую в кавычки, так и каждую запись одной с ней формы. Чтобы избежать подобных упреков и при этом не вводить некоторые излишние усложнения в рассуждения, связанные, между прочим, с необходимостью оперировать понятием эквиморфности, удобно договориться, что такие термины как "выражение", "слово", "предложение" и т.д. будут постоянно обозначать не конкретные записи, а целые классы записей, эквиморфные с некоторой данной записью, и в этом единственном смысле трактовать закавыченные имена как индивидуальные имена выражений."  Однако морфологические особенности языка можно использовать explicite (при этом само понятие морфологии как понятие вышестоящее и выражающее результаты отодвигается на задний план), выделив процесс составления имени и тем самым образовать для индивидуальных имен предложений "т.н. структурно-описательные имена", выделяющие знаки, из которых составлен десигнат данного имени. Следующий пример иллюстрирует использование структурно-описательного имени:

 

(4) Выражение, составленное из двух слов, первое из которых состоит из следующих пяти букв: эс, ен, е, гэ, второе - из следующих четырех букв: пэ, а, дэ, а, е, тэ является истинным предложением тогда и только тогда, когда снег падает.

 

Несмотря на то, что конкретизация схемы (2) в вопросе очевидности и интуитивности не вызывает сомнений, однако в некоторых ситуациях схема (2) становится источником антиномии лжеца (ее Тарский приводит в формулировке Лукасевича). Пусть символ "c" является сокращением для следующего предложения:

 

(5) "Предложение, написанное в [?] строке сверху".

 

Рассмотрим предложение

 

(6) "c не является истинным предложением".

 

В результате применения схемы (2) к (6) получим:

 

(7) "c не является истинным предложением" есть предложение истинное тогда и только тогда, когда c не является истинным предложением.

 

Памятуя о значении символа "c" можно сформулировать следующее утверждение:

 

(8) "c не является истинным предложением" идентично с c.

 

Сопоставление (7) и (8) тотчас приводит к противоречивому заключению:

 

(9) c является истинным предложением тогда и только тогда, когда c не является истинным предложением.

 

Источником антиномии служит подстановка вместо символа "p" в (2) выражения, содержащего термин "истинное предложение", но Тарский замечает, что разумного повода, по которому подобные подстановки должны бы быть принципиально запрещены, не видать." Оставляя в стороне сформулированную выше антиномию Тарский пробует обобщить предложения типа (3) так, чтобы все же получить дефиницию истины. Для этого необходимо получить такую схему, которая бы охватывала все предложения типа (3). Такой схемой могла бы быть следующая конструкция:

 

(10) Для произвольного p - "p" является истинным предложением тогда и только тогда, когда p.

 

Однако (10) еще не обладает желаемой общностью, ибо область возможных подстановок "x" ограничена именами в кавычках. Для ее расширения Тарский использует тот факт, что каждому истинному предложению (и вообще каждому предложению) соответствует имя в кавычках, обозначающее именно это предложение:

 

(11) Для произвольного x - x является истинным предложением тогда и только тогда, когда - для некоторого p - x идентично с "p" и p.

 

В таком использовании закавыченных имен Тарский также видит опасность. Имена в кавычках можно понимать как простые выражения, т.е. как синтаксически не составные. Тогда каждое имя в кавычках является индивидуальным именем некоторого конкретного выражения. Тарский замечает, что такая интерпретация весьма согласуется с интуицией, но тогда частичные дефиниции типа (3) невозможно каким-либо разумным способом обобщить. В частности, в (2) и (3) оказывается невозможным что-нибудь подставить вместо "p", ибо подстановка совершается на место переменной, а "p" таковой не является. Невозможно использовать также и структурно-описательное имя (как в (4)), ибо и оно также является именем индивидуальным.

 

Можно закавыченные имена понимать как составные выражения, в которых кавычки являются функтором от аргументов-предложений, значениями которого будут имена. Но и это решение, считает Тарский, неудовлетворительно: кавычки не являются экстенсиональным функтором и выражение (11) не может быть принято сторонниками элиминации интенсиональных выражений, к которым и он сам принадлежит в согласии с "идеологией" варшавской школы. Но и помимо этого трактовка кавычек как функций чревата антиномией лжеца даже без использования термина "истинное предложение". Пусть "c" является типографическим сокращением выражения

 

(12) Предложение, записанное на этой странице в [?] строке сверху.

 

Примем во внимание предложение

 

(13) Для произвольного p, если c идентично с предложением "p", то не-p.

 

Эмпирическим путем устанавливаем, что:

 

(14) Предложение "для произвольного p, если c идентично предложению "p", то не-p" идентично c.

 

Не вызывает сомнений и следующее предложение:

 

(15) Для произвольных p и q, если предложение "p" идентично предложению "q", то p тогда и только тогда, когда q.

 

Выражения (14) и (15) тотчас приводят к противоречию, а значит трактовка "p" как функции от аргумента p содержит непреодолимые препятствия.

 

Итак, непосредственное решение задачи построения дефиниции истинного предложения, состоящее в том, что предложение именуется терпит крах: имя, выражающее непосредственно результат процесса суждения не может быть использовано, даже если это не имя истины, а только предложения. Подводя итоги первому этапу построения искомой дефиниции Тарский заключает, "что проба построения правильной семантической дефиниции выражения "истинное предложение" сталкивается с весьма существенными трудностями. Мы не знаем даже общего метода, который позволил бы установить значение произвольного конкретного оборота типа "x есть истинное предложение", где вместо "x" выступает какое-либо индивидуальное имя предложения". Таким образом, использование индивидуальных имен предложений, говоря неточно, не поддается обобщению, не распространяется на процессы, будь то интралингвистические процессы составления имени предложения, или же экстралингвистические процессы, о которых нечто в предложении говорится. И Тарский приходит к единственно правильному выводу: уточнению подлежат не результаты, выражением коих являются индивидуальные имена, а процессы, прежде всего интралингвистические, которые можно было бы уточнить, используя логические законы.

 

Тем самым следующей попыткой Тарского является "проба построения структурной дефиниции", т.е. такой дефиниции, которая бы позволила установить, что предложение, обладающее определенными структурными свойствами, является истинным, а также истинными будут предложения, которые удастся получить при помощи описанных структурных преобразований. Под структурными свойствами и структурными преобразованиями Тарский понимает такие свойства и такие преобразования, которые можно описать в языке логического синтаксиса. Однако вывод, к которому приходит Тарский, следует сразу же из "идеи", настолько очевидным он ему кажется: "Отсюда замысел: установить достаточно много и достаточно сильных и общих законов этого типа так, чтобы каждое предложение подпадало под один из этих законов; таким образом мы пришли бы к общей структурной дефиниции истинного предложения. Однако и этот путь мне кажется почти безнадежным, по крайней мере относительно естественного языка. Естественный язык не является чем-то "готовым", завершенным, с выразительно очерченными границами; не установлено, какие выражения можно включать в этот язык, а тем самым какие в некотором смысле уже "потенциально" ему принадлежат [...]. Попытка построения структурной дефиниции термина "истинное предложение" в применении к естественному языку наталкивается на трудности, которые не удается преодолеть."

 О причинах этих трудностей Тарский говорит так: "Характерной чертой естественного языка (в отличие от различных научных языков) является его универсализм: было бы несогласно с духом этого языка, если бы в каком-нибудь другом языке выступали выражения или обороты, которые не удается перевести на естественный язык; "если о чем-либо можно вообще осмысленно говорить, то об этом можно говорить и в естественном языке". Культивируя эти универсалистские тенденции естественного языка в отношении семантических рассуждений, мы должны последовательно включать в язык наряду с произвольными его предложениями или прочими выражениями также и имена таких предложений и выражений, предложения, содержащие эти имена, затем такие семантические выражения как "истинное предложение", "имя", "обозначает" и т.д. С другой стороны, именно этот универсализм естественного языка в области семантики, предположительно, является существенным источником всевозможных т.н. семантических антиномий, таких как антиномия лжеца или антиномия гетерологических имен; эти антиномии, кажется, попросту показывают, что на основе каждого языка, который был бы в вышеуказанном смысле универсальным, и который при этом подчинялся бы нормальным законам логики, должно появиться противоречие. [...] Если приведенные выше замечания верны, то сама возможность последовательного (и при этом находящегося в согласии с принципами логики и духом естественного языка) оперирования выражением "истинное предложение" и, что за этим следует, возможность построения какой-нибудь правильной дефиниции этого выражения, кажется, весьма проблематична."

 

Таким образом, осознав, что в естественном языке, иначе, языке универсальном в том смысле, что он является смешением языков различных типов, что выражается в смешении процессов и результатов как интралингвистических, так и экстралингвистических, Тарский обращается к формализованным языкам и конструирует для них дефиницию истины.

 

Формализация языка состоит в том, что приводится либо же эффективно описывается список элементарных выражений, а также правила образования составных выражений, и прежде всего предложений. Поскольку формализованные языки образованы с намерением их использования в дедуктивных науках, то к описанию структуры языка, как правило, добавляется список аксиом данной дисциплины и правила вывода, что приводит к общему понятия утверждения в этой дисциплинеТарский выразительно подчеркивает: "То обстоятельство, что каждому выражению (а особенно предложению) рассматриваемого языка можно подчинить в метаязыке, с одной стороны, некоторое индивидуальное имя этого выражения, с другой же стороны - некоторое выражение, являющееся переводом данного выражения на метаязык, играет решающую роль в конструировании дефиниции истины". Тот факт, что не только перевод предложения в метаязык, но и индивидуальное имя этого предложения в метаязыке носит характер структурно-описательный, т.е. характер процесса, этот факт сыграет решающую роль при обобщении частичных условий истинности, заключающуюся в том, что дефиниция будет сформулирована в терминах процесса, а именно, процесса выполнения. К этой особенности дефиниции истинности мы вернемся при обсуждении значения ее философского аспекта. Сейчас же обратим внимание еще на одну трудность, препятствующую распространению частичного условия истинности до статуса универсальной характеристики истинного предложения несмотря на то, что язык нашего рассмотрения формализованный, а не естественный. Трудность эта связана с нефинитным характером образования выражений в метаязыке. Тарский пишет: "Здесь в игру вступают достаточно тонкие моменты. Выражения обычно понимаются как образования человеческой деятельности (соотв. как классы таких образований); при таком понимании допущение, что существует бесконечно много выражений, кажется явной нелепостью. Однако предоставляется возможность иной интерпретации термина выражение: а именно, можно было бы считать выражениями различные физические тела определенной формы и величины. Тогда центр тяжести проблемы переносится в физику [...]”.Очевидно, Тарский с таким решением согласится не может и более концепцию радикального номинализма не затрагивает, принимая к употреблению имена классов и множеств

Дефиниция истинного предложения оказывается частичной, ибо у нас нет уверенности в ее применимости ко всем предложениям, число которых бесконечно. Тарский выдвигает идею применения "рекуррентного метода" с тем, "чтобы указать все операции, при помощи которых простые предложения соединяются в более сложные и установить как истинность, соотв. ложность более сложных предложений зависит от истинности, соотв. ложности входящих в их состав более простых предложений". Но и этот путь, считает Тарский, наталкивается "на весьма существенное препятствие: даже поверхностный анализ [...] показывает, что в общем случае более сложные предложения вовсе не являются соединением более простых: пропозициональные функции действительно возникают этим путем из элементарных функций, т.е. как включения, предложения же мы получаем как некоторый специальный случай пропозициональных функций. При таком положении вещей не видно метода, который бы позволил определить непосредственно рассматриваемое понятие путем рекурренции".

 

В этом месте своих рассуждений Тарский делает решающий шаг: он находит "понятие более общей природы, которое будучи применимо к произвольным пропозициональным функциям, уже удается определить рекуррентно, а примененное к предложениям, оно приводит нас опосредованно к понятию истинности; а именно, этим условиям удовлетворяет понятие выполнения данной пропозициональной функции данными предметами, а в рассматриваемом случае - данными классами индивидов". В последней цитате необходимо отметить два сделанные Тарским уточнения: во-первых, он считает понятие выполнения более общим, нежели понятие истинности, с чем трудно согласиться, и, во-вторых, справедливо указывает на опосредованный характер этого понятия. Не будучи философом Тарский мог и не знать, не чувствовать климата той научной атмосферы, которая наполняла львовское окружение Твардовского и которую отличала античная нота нераздельности моральных и познавательных ценностей. Твардовский  писал: "Нетрудно заметить, что противоположности между истиной и ложью, между прекрасным и отвратительным, между добром и злом удается представить как отдельные виды одной общей противоположности; таковой является противоположность между тем, что мы называем правильным и тем, что называем неправильным". В частности, правильными назывались действия, поступки, процессы, в том числе и процесс суждения, который, если был правильным формально и материально, то приводил к истинному суждению. Нетрудно заметить, что приведенные Твардовским категории выражают оценки, т.е. результаты процессов, которые относятся соответственно к логике, эстетике и этике. В свете же работы Твардовского "О действиях и результатах" категории каждой науки могут быть представлены в терминах действия и результата, которые являются различными ипостасями одного и того же восприятия, тогда как характеристика "правильности" или "неправильности" действительно является не рядоположенной, а вышестоящей.

 

Понятие выполнения или невыполнения, используемые Тарским, в любом случае означают действие, правильное в первом случае и неправильное во втором, но во всех случаях эти характеристики относятся к действиям, тогда как логика (и всякая другая наука) имеют дело с результатами (методология, имеющая дело с действиями, принимает их во внимание также с позиции получаемых результатов). Таким результатом будет оценка действия высказывания, т.е. истинностное значение "истина", или "ложь". Здесь можно заметить, что опосредующим элементом оказывается не понятие действия выполнения, а понятие оценки, истинностного значения или понятие "истинного предложения" в терминологии Тарского. Таким образом, Тарский переходит от рассмотрения результата действия к самому действию и формулирует условия, когда эти понятия оказываются эквивалентными.

 

 

Немецкий перевод работы о понятии истины содержит новые результаты. В частности там приведено утверждение о неопределимости истины в формализованной системе, содержащей арифметику натуральных чисел. Уточнил Тарский и общие условия, каковым должен удовлетворять метаязык ML с тем, чтобы в нем можно было сконструировать ("формально и материально правильную") адекватную дефиницию истины, а именно, ML должен быть языком более высокого типа, нежели L, ибо иначе в ML не удается сформулировать дефиницию истины для L.

 

Свою концепцию истины Тарский сформулировал в тот период, когда Гедель показал, что каждая формализованная дедуктивная система, содержащая арифметику натуральных чисел, неполна. Тарский сообщает, что утверждение о неопределимости понятия истинного предложения  было им сформулировано уже во время печатания книжки вместо предположения, что такое утверждение может иметь место; Тарский признается, что изменения были им внесены под влиянием результата Геделя. Несомненно, между утверждением Тарского и утверждением Геделя существует тесная связь: невозможность сформулировать дефиницию истины подсказывает вполне определенно метод доказательства утверждения Геделя. Уже после войны Тарский (Tarski, Mostowski, Robinson ), обобщая свои ранние концепции, выработал общий метод неразрешимости формализованных теорий. Правда, встречается утверждение, что множество доказуемых предложений алгебры классов является непротиворечивым и не полным, однако это утверждение не есть аналог теоремы Геделя, не говоря уже о том, что Тарский вообще не поставил вопрос о возможной непротиворечивости данной теории в границах этой же теории. Кроме того, между методами Геделя и Тарского имеется существенное различие: Гедель привел конструктивное доказательство неполноты и недоказуемости непротиворечивости арифметики в границах самой арифметики, тогда как методы Тарского были нефинитны. Из результатов Тарского  следует, что для использования семантики достаточно богатых математических теорий необходимо в метаязыке предположить наличие теории множеств, что равносильно использованию нефинитных методов. Таким образом оказалось, что результат Геделя был фальсификацией программы Гильберта в границах самой программы, тогда как исследования Тарского с самого начала выходили за пределы этой программы. В этом смысле результаты Тарского и Геделя трудно сравнивать, ибо такое сравнение лишь указывает на глубокое различие семантических и синтаксических методов.