Полный магнитный момент одноэлектронного атома

 До сих пор мы рассматривали поведение орбитального _l и спинового _S магнитных моментов электрона во внешнем магнитном поле в предположении отсутствия взаимодействия между ними. Однако, в отсутствии внешнего магнитного поля между этими моментами существует взаимодействие, в результате которого имеют место взаимодействия между орбитальным _l и спиновым _s моментами количества движения электрона (l_s - взаимодействие). При этом векторы _l и _s прецессируют относительно вектора полного момента количества движения _J численно равного

| _J | = (h / 2π) , (19)

где внутренне квантовое число j принимает одно из значений j = l+s; l+s-1;… …(l-s).

| _l| = (h / 2π)  = l^*,

 | _s| = (h / 2π) = S^*,

| _J| = (h / 2π) = j^*.

Схема суммирование векторов _l и _s.

 

 

Причем проекция полного момента количества движения _J, на какое-либо направление равна _JZ = (h / 2π) mj, где m_j = j; j-1; ……, -j, т.е. m_J принимает 2j+1 значений. Т.к. у электрона помимо моментов _l и _s есть еше магнитные моменты: орбитальный _l и собственный _S, направленный противоположно соответствующим моментам количества движения, то рис.2 необходимо дополнить векторами _l и _S (см. рис. 3)_. При этом необходимо учесть, что отношение μ_S / P_S вдвое больше отношения μ₁ / P₁. Поэтому, если на рис. 3 вектор _l изобразить равным по длине вектору _l, то в том же масштабе длина вектора μ_S должна быть в два раза больше длины вектора _s, рис.3 выполнен с учетом этого обстоятельства. Из рис. видно, что вследствие того что, μ_S / P_S  μ₁ / P₁ направление вектора результирующего магнитного момента  (  = μ_S+μ₁ – полного магнитного момента атома) не совпадает с направлением вектора полного магнитного момента количества движения _J. Векторы _l и _s прецессируют вокруг направления того же вектора.

Схема суммирование векторов _l и _S.

 

 

Усредненное значение перпендикулярных составляющих обоих магнитных моментов за прецессии будет равно нулю, т.к. эти составляющие непрерывно меняют свое направление в пространстве.

Т.о., эффективный полный магнитный момент одноэлектродного атома будет равняться сумме параллельных составляющих векторов _l и _S, т.е. будет равен вектору _J. Следовательно, полный магнитный момент атома (в отсутствии внешнего магнитного поля) равен (см. рис. 3).

_J = μ₁ Cos ( _{l J}) + μ_S Cos ( _{S J}) (21)

| _l| = (h / 2π) l^*; | _l| = ₀ l^*;

| _J| = (h / 2π) j^*; | _S| = ₀ S^*;

| _S| = (h / 2π) S^*;

 На рисунке 3, на основании известной тригонометрической формулы, следует, что

Cos ( _{l J}) = (l (l +1) + j (j +1) – s (s + 1)) / 2

Cos ( _{S J}) = (s (s +1) + j (j +1) – l (l + 1)) / 2  (22)

 Подставляя (8), (15), (22) в (21), получим

μ_J = μ₀ (3 j (j + 1) + s (s +1) – l (l + 1)) / (2 ) (23)

 Умножая числитель и знаменатель на , приводим выражение (23) к виду

μ_J = μ₀  {1 + (j (j + 1) + s (s + 1) - l (l + 1)) / 2j (j + 1)} (24)

 Величина g = 1 + (j (j + 1) + s (s + 1) - l (l + 1)) / 2j (j + 1) (25)

Называется множителем (фактором) Ланде, во многих явлениях играет важную роль.

 Т.о. магнитный момент атома равен

μ_J = μ₀g  = μ₀g j^* (26)

Если поместить атом в “слабое” магнитное поле, “слабое” настолько, чтобы взаимодействие моментов _l и _S между собой было значительно больше их взаимодействия с внешним магнитным полем. То есть в этом случае атом будет вести себя в поле как магнитный диполь с моментом, равным _l. Причем этот момент будет ориентирован относительно поля определенным образом. А именно так, чтобы проекция вектора _J на направление поля  принимала значения

P_JH = P_J Cos ( _J ) = h / 2πm_J, (27)

m_J = j, j-1, ……,- j. Cos ( _J ) = m_J / j^*.

И соответственно проекция магнитного момента атома μ_JH на направление внешнего магнитного поля  будет равна.

μ_JH = μ_J Cos ( _J ) = μ_J (m_J / j^*) = μ₀gm_J (28)

Дополнительная потенциальная энергия взаимодействия магнитного момента атома с внешним магнитным полем будет равна

ΔΕ = ( _l ) = μ_J H Cos ( _J ) = μ₀ g H m_J (29)

Векторы _l, _s, _J ориентируются определенным образом в пространстве относительно направления магнитного поля, что называется “пространственным квантованием“.

 

§4. Опыты Штерна и Герлаха

 

На пролетающие через неординарное магнитное поле атомы будет действовать не только момент сил, стремящийся повернуть их магнитные моменты в направлении поля, но будет действовать отклоняющая сила, обусловленная неодинаковой напряженностью магнитного поля у полюсов атомного магнитного диполя.

 

 

Пусть m₀ – величина “магнитного заряда“, сосредоточенного в каждом из полюсов атомного магнитного диполя. H₁ и H₂ – напряженность магнитного поля в точках A и B. Сила, действующая на диполь со стороны поля  в направлении OX, равна F_X = F₂ – F₁ = m₀ (H₂ – H₁) = m₀ (dH / dx) dx.

dx = L cosα

F_X = m₀ L dH / dx Cosα,

μ = m₀ L – магнитный момент диполя.

F_X = μ dH / dx Cosα (30)

 В зависимости от ориентации магнитного момента (угол α), диполь будет смещается вдоль оси ОХ (т.е. вдоль поля) либо в сторону увеличения напряженности магнитного поля.

 

Рис.5

 

Если атомы обладают магнитными моментами, которые могут произвольно ориентироваться относительно поля, то узкий первоначальный пучок атомов, летящий вдоль оси OY, пересекая неоднородное магнитное поле, направленное вдоль оси OX, растянется в широкую (в направлении поля) полосу, в соответствии с произвольными значениями cosα в пределах

-1 cosα 1.

 

Рис. 6

Если магнитные моменты атомов могут ориентироваться относительно направления поля только вполне определенным образом, т.е. cosα может принимать только вполне определенные дискретные значения, то в соответствии с этим первоначальный пучок должен расщепиться на ряд компонент. Как следует из вывода соотношения (30).

 Опыты могут доказать не только существование магнитного момента у атома, но и проверить достоверность выводов теории пространственного квантования.

 

 

 В откачанном до глубокого вакуума сосуде 1 помещена маленькая печь 2, в которой находится кусочек серебра 3. При нагревании печи серебро испаряется, атомы Ag вылетают из печи во всех возможных направлениях с тепловыми скоростями (~ несколько сотен м/с). Несколько щелей 4 выделяют узкий пучок атомов серебра, летящий вдоль оси Y. Атомный пучок пролетает через область неоднородного магнитного поля, направленного вдоль оси X. На пластине 5, пучок конденсируется на ней. Атомный пучок расщепляется, что подтверждает справедливость теории пространственного квантования, доказано наличие у атомов магнитного момента.

 Полный магнитный момент атома μ_J = μ₀ g j^*,

его проекция μ_JH = μ₀ g m_J,

где квантовое число m_J = j, j - 1, …, - j.

Отклоняющая сила

F_X = μ₀ g (dH / dx) m_J

 Все атомы серебра находятся в основном состоянии ²S₄, орбитальным l = 0, спином S = ½, внутренним j = ½, множитель Ланде

g = 1 + (j (j + 1) + s (s + 1) - l (l + 1)) / 2j (j + 1)) = 2

 Магнитное квантовое число m_J при j = ½ принимает только два значения i + ½ и – ½

 Следовательно, возможны только две ориентации магнитного момента атома серебра в S - состоянии относительно поля H.

 Со стороны поля H, согласно (31) будет действовать сила либо ₁ = μ₀ (  dx), либо ₂ = - μ₀ (  dx). Поэтому одни атомы смещаются в сторону возрастания поля, другие – в сторону уменьшения напряженности , вследствие чего пучок расщепляется на две компоненты, что подтверждилось на опыте.

 Поэтому в S - состоянии l=0, то μ_l = 0 (μ_l = (e /2mC)P_l), следовательно, магнитный момент атома серебра в основном состоянии обусловлен собственным магнитным моментом электрона, и было определено в 1952 г.

μ_SH = 1.00116 μ₀,

а не μ_SH = 2μ₀m_s = μ₀, что следует из релятивистского уравнения Шредингера, уравнения Дирака. Это получило специальное название – аномального магнитного электрона. Аномальный магнитный момент электрона обусловлен его взаимодействием с собственным электромагнитным полем.

Эффект Зеемана

 Является убедительным экспериментальным доказательством существования магнитного атомного момента и его пространственного квантования.

 Если свет от источника рассматривать в направлении перпендикулярном магнитному полю (вдоль оси У), то каждая линии расщеплена и состоит из трех компонентов:

ν₀; ν₀ + Δν; ν₀ – Δν; где ν₀ – частота линии в отсутствие магнитного поля;

Δν0 = eH / 4πmC;

 

 

H – напряженность внешнего магнитного поля.

Если свет рассматривать вдоль направления магнитного поля  (вдоль оси Х), то каждая расщепится только на две компоненты:

ν₀ + Δν; ν₀ – Δν.

В отсутствие магнитного поля атом находится в состоянии с энергией E_Y. Поместим его во внешнее поле . Появляется связь _l - _s – магнитное взаимодействие и взаимодействие _l -  и _s - . Если  слабое, то последнее взаимодействие сильное. Энергия атома в магнитном поле изменится за счет потенциальной энергии ΔΕΗ взаимодействия магнитного момента атома с магнитным полем и сделается равной EIH = EI + ΔΕΗ.

ΔΕΗ – потенциальная энергия взаимодействия магнитного момента атома _l с внешним магнитным полем равна

ΔΕΗ = μ₀ g H M_I

где M_I – полное магнитное квантовое число при данном J имеет 2I + 1 значений, то есть M_I = I, I – 1, I – 2, …- I. Таким образом, в слабом магнитном поле каждый энергетический уровень E_I (каждый терм) атома расщепится на 2J + 1 подуровней с энергиями

E_JH = E_J + μ₀ g H M_I.

 Обычно, расщепление энергетических уровней атома в магнитном поле называют зеемановским расщеплением.

Энергетический уровень 2’P_l в магнитном поле расщепится на 3 подуровня. В 2’P_l состоянии L=1, S=0, I=0, то магнитное квантовое число M_I принимает три значения –

M_τ = +1; 0; -1.

Множитель Ланде для 2’P_l:

g₂ = 1 + (I (I + 1) + S (S + 1) - L (L + 1)) / 2I (I + 1))=1

В состоянии 2’P_l атом гелия в магнитном поле обладает энергетическими подуровнями:

E’_2H = E₂ + μ₀ H (M=1),

E’’_2H = E₂ (M=0),

 E’’’_2H = E₂ - μ₀ H (M= - 1),

То есть уровень 2’P_l с энергией Ε₂ в магнитном поле расщепится на три подуровня с энергиями E’_2H, E’’_2H, E’’’_2H. Согласно правилам отбора ΔL =  1; ΔS = 0; ΔI = 0,  1; ΔM_I = 0,  1 при переходе 2’P_l - 1’S₀, в магнитном поле вместо одной линии λ₀ будет излучаться три линии: λ₁, λ₂ = λ₀, λ_3.

 Причем линии, для которых ΔM_I = 0 (π - компоненты) согласно квантовой механике будут поляризованы линейно, то есть так, что электрический вектор расположен параллельно полю .

 

 

Линии, для которых ΔM_I =  1 (σ - компоненты), будут поляризованы так, что электрический вектор их волны расположен перпендикулярно полю  и будут обладать круговой поляризацией (по правому и левому кругу).

Частоты, соответствующие этим линиям:

ν_l = (E’_2H – E_1H) / h = ((E₂ – E₁) / h) + μ₀ H / h.

Но (E₂ – E₁) / h = ν₀; μ₀ H / h = eH/(4πmC) = Δμ₀

Учтя знак электрона, получим

ν_l = ν₀ – eH / (4πmC) = ν_l - Δν₀

Аналогичным образом ν₂ = ν_l;

ν₃ = ν_l + eH / (4πmC) = ν_l + Δν₁