Построение оптимальных контактно-релейных схем

 

Проблема проектирования логических схем сводится к отысканию оптимальной эквивалентной схемы, состоящей из возможно меньшего числа элементов. С математической точки зрения эта проблема сводится к задаче минимизации булевой функции, соответствующей заданной схеме. Для построения оптимальной схемы необходимо сделать следующее.

1. По заданной схеме составить соответствующую ей булеву функцию.

2. Привести эту функцию к ДНФ.

3. Минимизировать записанную в ДНФ булеву функцию одним из описанных выше способов

4. Построить релейно-контактную схему, соответствующую минимальной ДНФ.

Приведем примеры.

Пример 20. Построить оптимальную релейно-контактную схему, эквивалентную схеме на рис. l0.

Решение.

    1. Составим по этой схеме булеву функцию

.

    2. Эта функция записана в ДНФ, поэтому предварительных ее преобразований не требуется.

    3. Склеиваем первый член с третьим:

.

4. Строим релейно-контактную схему, соответствующую полученной функции:

В упрощенной схеме вместо 9 контактов исполь­зу­ют­ся только 5.

Пример 21. Построить оптимальную релейно-контактную схему, эквивалентную схеме на рис. 12.

    Решение.

    1. Заданной схеме соответствует булева функция

    .

    2. Представим эту функцию в ДНФ

    .

    3. Склеивая второй член с четвертым, а затем проводя операцию поглощения, получим

    .

    4. Строим оптимальную релейно-контактную схему (рис. 13).

Упражнения

1. Минимизировать с помощью карт Карно следующие булевы функции:

а)

;

б) ;

в)

;

г) ;

д) ;

е) .

2. Минимизировать булевы функции методом Квайна:

а) ;

б)

;

в)

;

г)

.

3. Построить для булевой функции  модель куба и минимизировать её. Функция f задана табл. 10, 11, 12.

Таблица 10

X1	X2	X3	f(X1,X2,X3)
0	0	0	1
0	0	1	0
0	1	0	1
1	0	0	0
0	1	1	1
1	0	1	1
1	1	0	0
1	1	1	1

Таблица 11

X1	X2	X3	f(X1,X2,X3)
0	0	0	0
0	0	1	0
0	1	0	1
1	0	0	1
0	1	1	0
1	0	1	0
1	1	0	1
1	1	1	1

Таблица 12

X1	X2	X3	f(X1,X2,X3)
0	0	0	1
0	0	1	0
0	1	0	1
1	0	0	1
0	1	1	1
1	0	1	0
1	1	0	1
1	1	1	0

4. Построить для булевой функции f(X₁,X₂,X₃), записанной в СДНФ, модель куба и минимизировать функцию f:

a) ;

б) ;

в) .

5. Для заданной модели куба (рис. 14 а, б, в) записать булеву функцию  в СДНФ и минимизировать её.

 

 

6. Построить оптимальные контактно-релейные схемы для схем, заданных на рис. 15–18.

Рис. 16

Рис. 17

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Нефедов В.Н. Курс дискретной математики / В.Н. Нефедов, В.А. Осипова: Изд-во МАИ, 1992. 262 с.

2. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику / С.В. Яблонский. Μ.: Наука, 1979. 272 с.

3. Леденева Т.М. Специальные главы математики. Дискретная математика: учеб. пособие / Т.М. Леденева. Воронеж: ВГТУ, 1997. 130 с.

4. Кретова Л.Д. Элементы математической логики: методические указания к практическим и индивидуальным занятиям / Л.Д. Кретова, Н.Б. Ускова, В.В. Посметьев. Воронеж: ВГТУ, 2005. 21 с.