Задача формирования оптимального портфеля ценных бумаг

Задание:

Решить задачу формирования оптимального портфеля ценных бумаг: бумаги первого вида - безрисковые ожидаемой эффективности m₀, а второго и третьего вида - некоррелированные рисковые ожидаемых эффективностей m₁, m₂ c рисками s ₁ , s ₂ .

Постановка задачи:

Участник рынка имеет возможность приобретать Ц.Б. На рынке имеется три вида ценных бумаг: государственные безрисковые и два вида рисковых ценных бумаг.

Пусть x_i – доля ценных бумаг i-го вида, которые имеет участник рынка ( ). Каждая из бумаг i -го вида приносит определённый доход Е _i, который в общем случае случаен. Обозначим:

 m_i – математическое ожидание дохода от i-ой ценной бумаги,

 r_i - среднее квадратичное отклонение дохода от i-ой ценной бумаги.

В общем случае,   случайные доходы одного типа ценных бумаг зависят от дохода, получаемому по другому типу ценных бумаг. 

Обозначим V_ij – ковариация (корреляционный момент связи) между случайными величинами: доходом от ценной бумаги i-го и j-го видов.

Пакет ценных бумаг, находящихся у участников рынка, принято называть портфелем ценных бумаг. Поскольку, доход от каждого типа Ц.Б. является случайной величиной, то общий доход от общего портфеля в целом также является случайной величиной:

А общая дисперсия дохода составит:

Риск от реализации одной ценной бумаги отождествляется с «разбросом» дохода, т.е. со средним квадратичным отклонением.

Если , то существует две постановки задачи формирования оптимального портфеля ценных бумаг:

1) портфель минимального риска;

2) портфель максимального дохода;

Рассмотрим математическую  постановку задачи портфеля минимального риска: найти значения неизвестных x_i, которые обеспечивают минимизацию функции общего риска портфеля:

, при следующих ограничениях:

 - обеспечивается заданное значение ожидаемой эффективности портфеля m_p;

 - сумма долей всех бумаг равна единице;

Математическая постановка задачи портфеля максимизации дохода: найти значения x_i, которые обеспечивают максимизацию общего дохода портфеля:

, при ограничениях:

Решение:

Доход одной денежной единицы на каждую из бумаг задан: m_o =2 m ₁ =4 m ₂ =9. Известны также рискирисковых бумаг: r ₁ =8 r ₂ =10.

Обозначим:

z  –  доли государственных ценных бумаг;

х –  долю рисковых бумаг 1-ого вида;

у –  долю рисковых  бумаг  2-ого вида;

Тогда доход всего портфеля можно представить в следующем виде:

 m_p = 2 z + 4 x + 9 y денежных единиц,  а дисперсию этого портфеля в виде:

Так как x + y + z =1, то z = 1 – x – y

Подставим в m_p : m_p =2(1 – x - y ) + 4 x + 9 y =2 + 2 x + 7 y ;

Найдем значения x , y , при которых функция , при следующих ограничениях:

Для этого составим функцию Лагранжа и найдём её частные производные.

L(x; y) = 64x² + 100y² + λ(2+2x + 7y - m_p)

Приравняв производные к нулю, получим систему:

Решая полученную систему:

Докажем что это min. Для этого найдем вторые частные производные

Δ = AC - B ² = 128 × 200-0 > 0 => экстремум есть, т.к. А и С > 0, это min.

Найдем интервал m _р, подставив найденные значения x, y в систему ограничений:

Проведем анализ результатов с помощью таблицы:

mp	2	3	4	5	6	7
z	1						0
x	0
y	0
	0	1,35	2,7	4,04	5,38	6,73	7,34

Расчеты:

При m_p=3:    

 При m_p=4:

При m_p=5

При m_p=6

При m_p =7

При m_p =

Строим график зависимости  ожидаемого дохода от риска: